ベクトル $a = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $b = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を計算しなさい。 (1) $a^T b$ (2) $b a^T$ (3) $a$ のノルム (4) $a$ の単位ベクトル (5) $(a, b)$ (内積) (6) $a \times b$ (外積) (7) $a \times b$ が具体的に意味するものは何か？

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ と $b = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を計算しなさい。

(1) $a^T b$

(2) $b a^T$

(3) $a$ のノルム

(4) $a$ の単位ベクトル

(5) $(a, b)$ (内積)

(6) $a \times b$ (外積)

(7) $a \times b$ が具体的に意味するものは何か？

2. 解き方の手順

(1) $a^T b$ は、$a$ の転置と $b$ の内積です。

$a^T b = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} = (2)(1) + (3)(-4) + (4)(2) = 2 - 12 + 8 = -2$

(2) $b a^T$ は、$b$ と $a$ の転置の積です。

$b a^T = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -8 & -12 & -16 \\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}$

(3) $a$ のノルムは、$||a|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$

(4) $a$ の単位ベクトルは、$a$ をそのノルムで割ったものです。

$\frac{a}{||a||} = \frac{1}{\sqrt{29}} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{29}} \\ \frac{3}{\sqrt{29}} \\ \frac{4}{\sqrt{29}} \end{bmatrix}$

(5) $(a, b)$ は $a$ と $b$ の内積です。これは (1) で計算した $a^T b$ と同じです。

$(a, b) = a^T b = -2$

(6) $a \times b$ は $a$ と $b$ の外積です。

$a \times b = \begin{bmatrix} (3)(2) - (4)(-4) \\ (4)(1) - (2)(2) \\ (2)(-4) - (3)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 + 16 \\ 4 - 4 \\ -8 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 \\ 0 \\ -11 \end{bmatrix}$

(7) $a \times b$ が具体的に意味するもの:

$a \times b$ は、$a$ と $b$ の両方に垂直なベクトルであり、その大きさは $a$ と $b$ が張る平行四辺形の面積に等しい。

3. 最終的な答え

(1) $a^T b = -2$

(2) $b a^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -8 & -12 & -16 \\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}$

(3) $||a|| = \sqrt{29}$

(4) $\frac{a}{||a||} = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{29}} \\ \frac{3}{\sqrt{29}} \\ \frac{4}{\sqrt{29}} \end{bmatrix}$

(5) $(a, b) = -2$

(6) $a \times b = \begin{bmatrix} 22 \\ 0 \\ -11 \end{bmatrix}$

(7) $a \times b$ は、$a$ と $b$ の両方に垂直なベクトルであり、その大きさは $a$ と $b$ が張る平行四辺形の面積に等しい。