与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値を求める問題です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の固有値を求めるには、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解く必要があります。ここで、$\lambda$ は固有値を表し、$I$ は単位行列です。

まず、$A - \lambda I$ を計算します。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & -1 & 0 \\ 2 & -\lambda & 0 \\ -2 & 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix}$

次に、この行列の行列式を計算します。

$\det(A - \lambda I) = (3 - \lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & 0 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 2 & -\lambda \\ -2 & 1 \end{vmatrix}$

$= (3 - \lambda)(-\lambda(1 - \lambda)) + (2(1 - \lambda))$

$= (3 - \lambda)(-\lambda + \lambda^2) + 2 - 2\lambda$

$= -3\lambda + 3\lambda^2 + \lambda^2 - \lambda^3 + 2 - 2\lambda$

$= -\lambda^3 + 4\lambda^2 - 5\lambda + 2$

特性方程式は $-\lambda^3 + 4\lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0$ となります。これを解くために、まず $\lambda = 1$ が解であるか試してみます。

$-(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0$

したがって、$\lambda = 1$ は解の一つです。次に、多項式を $(\lambda - 1)$ で割ります。

$-\lambda^3 + 4\lambda^2 - 5\lambda + 2 = -(\lambda - 1)(\lambda^2 - 3\lambda + 2)$

$\lambda^2 - 3\lambda + 2$ を因数分解すると $(\lambda - 1)(\lambda - 2)$ となります。

したがって、特性方程式は $-(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$ となります。

これにより、固有値は $\lambda = 1, 1, 2$ となります。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda = 1, 1, 2$