与えられた行列Aに対して、変換行列PとP^(-1)を求め、Aを対角化する問題です。ここでは、(3)の行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた行列Aに対して、変換行列PとP^(-1)を求め、Aを対角化する問題です。ここでは、(3)の行列

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

について解きます。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める

まず、行列Aの固有値を求めるために、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 & 0 \\ 2 & -\lambda & 0 \\ -2 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)\begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 \\ 2 & -\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((3-\lambda)(-\lambda) - (-1)(2)) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 2) = (1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-2) = -(\lambda-1)^2(\lambda-2)$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$ (重解)と $\lambda_2 = 2$ です。

(2) 固有ベクトルを求める

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ の場合:

$(A - I)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - y = 0$ より $y = 2x$。$z$ は任意。

したがって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

$\lambda_2 = 2$ の場合:

$(A - 2I)v = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y = 0$ より $x = y$。 $-2x + y - z = 0$ より $-2x + x - z = 0$, $-x - z = 0$, $z = -x$

したがって、固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

(3) 対角化と変換行列

Pを固有ベクトルを並べた行列とします。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}$を求めるには、$P$に基本変形を行って単位行列に変形させると同時に、単位行列に同じ変形を行う。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替える：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3行目を-1倍する：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引く：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

2行目に3行目を足す：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

よって、$P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

対角行列Dは、$D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$