$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。 (1) $f^{-1}(T_1)$ を求めよ。 (2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ただし、全体集合は $\mathbb{Z}$ とする。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。

(1) $f^{-1}(T_1)$ を求めよ。

(2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ただし、全体集合は $\mathbb{Z}$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $f^{-1}(T_1)$ を求める。

$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1 \} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in T_1 \} = \{x \in \mathbb{Z} \mid (x^2)^2 > 8\}$ となる。

これは $x^2 > 8$ を満たす整数の集合であるから、$x^2 > 8$ は $|x| > \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ と同値である。

したがって、$x$ は $x \leq -3$ または $x \geq 3$ を満たす整数である。

よって、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \leq -3 \text{ or } x \geq 3\}$ となる。

(2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求める。

$(f^{-1}(T_1))^c = \mathbb{Z} \setminus f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\}$ である。

したがって、$x^2 \leq 8$ は $|x| \leq \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ と同値である。

$x$ は $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ を満たす整数である。

あるいは $x$ は $-2 \le x \le 2$ を満たす整数である。

したがって、$(f^{-1}(T_1))^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

正解: $f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \leq -3 \text{ or } x \geq 3\}$

その理由: $f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ であり、$x^2 > 8$ を満たす整数 $x$ は $x \le -3$ または $x \ge 3$ を満たす。

(2)

正解: $(f^{-1}(T_1))^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

その理由: $(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\}$ であり、$x^2 \leq 8$ を満たす整数 $x$ は $-2 \le x \le 2$ を満たす。