問題は3つあります。 * 問1: 与えられた条件から、関数 $y = ax^2$ の $a$ の値を求める。 * 問2: 放物線 $y = ax^2$ と直線 $y = -x + 6$ のグラフに関する問題。 * (1) $a$ の値を求める。 * (2) $\triangle OAB$ の面積を求める。 * (3) 点 $B$ を通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求める。 * 問3: 曲線 $y = x^2$ と直線 $y = ax + b$ のグラフに関する問題。 * (1) 直線 $y = ax + b$ の $a, b$ の値を求める。 * (2) $y$ 軸上に $\triangle ABC = \triangle ABP$ となる点 $P$ の座標を求める。ただし、$P$ の $y$ 座標は正とする。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* 問1: 与えられた条件から、関数 $y = ax^2$ の $a$ の値を求める。

* 問2: 放物線 $y = ax^2$ と直線 $y = -x + 6$ のグラフに関する問題。

* (1) $a$ の値を求める。

* (2) $\triangle OAB$ の面積を求める。

* (3) 点 $B$ を通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求める。

* 問3: 曲線 $y = x^2$ と直線 $y = ax + b$ のグラフに関する問題。

* (1) 直線 $y = ax + b$ の $a, b$ の値を求める。

* (2) $y$ 軸上に $\triangle ABC = \triangle ABP$ となる点 $P$ の座標を求める。ただし、$P$ の $y$ 座標は正とする。

2. 解き方の手順

問1

* (1) $x = 4, y = -2$ を $y = ax^2$ に代入して、$a$ を求める。

$-2 = a(4^2) = 16a$ より $a = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$

* (2) $x$ が $-3$ から $5$ まで増加するときの $y = x + 6$ の変化の割合（傾き）は $1$ である。

$x$ が $-3$ から $5$ まで変化するとき、$y$ は $a(-3)^2$ から $a(5)^2$ まで変化する。

変化の割合は $\frac{a(5^2) - a(-3)^2}{5 - (-3)} = \frac{25a - 9a}{8} = \frac{16a}{8} = 2a$

これが 1 に等しいので、$2a = 1$ より $a = \frac{1}{2}$

* (3) $x$ の変域が $-2 \le x \le 6$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 9$ である。

$y = ax^2$ は、$x = 0$ のとき $y = 0$ となる。

$a > 0$ のとき、$x = 6$ で最大値 $9$ をとる。

$y = a(6^2) = 36a = 9$ より $a = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

$a < 0$ のとき、$x = -2$ で最大値をとることはない。

問2

* (1) 点 $A, B$ は $y = ax^2$ と $y = -x + 6$ の交点である。図から、$A$ の $x$ 座標は $-6$、$B$ の $x$ 座標は $2$ である。

点 $B$ は $y = -x + 6$ 上にあるから、$y = -2 + 6 = 4$ 。

したがって $B(2, 4)$ である。

$y = ax^2$ に $B(2, 4)$ を代入すると、$4 = a(2^2) = 4a$ より $a = 1$

* (2) $A$ の座標を求める。$A$ は $y = -x + 6$ 上にあるから、$A(-6, 12)$ である。

$\triangle OAB$ の面積は、直線 $y = -x + 6$ と $x$ 軸との交点 $(6, 0)$ を $C$ とすると、$\triangle OAC - \triangle OBC$ で計算できる。

$\triangle OAC = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36$

$\triangle OBC = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

$\triangle OAB = 36 - 12 = 24$

* (3) $\triangle OAB$ の面積を2等分する直線は、線分 $OA$ の中点を通る。

$OA$ の中点は $(\frac{-6 + 0}{2}, \frac{12 + 0}{2}) = (-3, 6)$ である。

点 $B(2, 4)$ と点 $(-3, 6)$ を通る直線の式を $y = mx + n$ とすると、

$4 = 2m + n$

$6 = -3m + n$

引くと $-2 = 5m$ より $m = -\frac{2}{5}$

$n = 4 - 2(-\frac{2}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = \frac{24}{5}$

よって、求める直線の式は $y = -\frac{2}{5}x + \frac{24}{5}$

問3

* (1) $A(-1, 1), B(2, 4)$ を通る直線の式を $y = ax + b$ とすると、

$1 = -a + b$

$4 = 2a + b$

引くと $-3 = -3a$ より $a = 1$

$b = 1 + a = 1 + 1 = 2$

よって、$a = 1, b = 2$

* (2) $C(-3, 9)$ である。$\triangle ABC$ の面積を求める。

$AB$ の式は $y = x + 2$ である。点 $C$ から直線 $AB$ までの距離 $h_c$ を求める。

直線 $AB$ は $x - y + 2 = 0$ と表せる。

$h_c = \frac{|(-3) - 9 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$

$AB$ の長さは $\sqrt{(2 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = 15$

点 $P$ の座標を $(0, p)$ とする。

$\triangle ABP$ の面積は、底辺を $AB$ と考えると高さは、点 $P$ から直線 $AB$ までの距離となる。

$h_p = \frac{|0 - p + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-p + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|2 - p|}{\sqrt{2}}$

$\triangle ABP = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times \frac{|2 - p|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2} |2 - p|$

$\triangle ABC = \triangle ABP$ より

$15 = \frac{3}{2} |2 - p|$

$10 = |2 - p|$

$2 - p = 10$ または $2 - p = -10$

$p = -8$ または $p = 12$

ただし、$P$ の $y$ 座標は正とするので、$p = 12$

3. 最終的な答え

問1

* (1) $a = -\frac{1}{8}$

* (2) $a = \frac{1}{2}$

* (3) $a = \frac{1}{4}$

問2

* (1) $a = 1$

* (2) $\triangle OAB = 24$

* (3) $y = -\frac{2}{5}x + \frac{24}{5}$

問3

* (1) $a = 1, b = 2$

* (2) $P(0, 12)$