数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_4 = 7$、$a_3 - a_1 = 4$ を満たす。数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、$S_n = n^2 + a_n - 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たす。 (1) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。 (2) $b_1$ を求めよ。また、$n \ge 2$ のとき、$b_n$ を $n$ を用いて表せ。 (3) $\sum_{k=1}^{n} a_k < 1000$ となる最大の自然数 $n$ を $N$ とする。$N$ の値を求めよ。また、$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{a_k b_k}$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、丁寧に解答を作成します。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_4 = 7$、$a_3 - a_1 = 4$ を満たす。数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、$S_n = n^2 + a_n - 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たす。

(1) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) $b_1$ を求めよ。また、$n \ge 2$ のとき、$b_n$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k < 1000$ となる最大の自然数 $n$ を $N$ とする。$N$ の値を求めよ。また、$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{a_k b_k}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$、公差を $d$ とすると、$a_4 = a + 3d = 7$、$a_3 - a_1 = (a + 2d) - a = 2d = 4$。よって、$d = 2$。

$a + 3d = a + 3(2) = 7$ より、$a = 1$。

したがって、$a_n = a + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$。

(2) $S_1 = 1^2 + a_1 - 1 = a_1 = 1$ より、$b_1 = S_1 = 1$。

$n \ge 2$ のとき、$S_n = n^2 + a_n - 1 = n^2 + (2n - 1) - 1 = n^2 + 2n - 2$。

$S_{n-1} = (n-1)^2 + a_{n-1} - 1 = (n-1)^2 + 2(n-1) - 1 - 1 = (n-1)^2 + 2(n-1) - 2 = n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 - 2 = n^2 - 3$。

よって、$b_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n - 2) - (n^2 - 3) = 2n + 1$。

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2 + n - n = n^2$。

$n^2 < 1000$ となる最大の自然数 $n$ は、$n = 31$ のとき $n^2 = 961 < 1000$、$n = 32$ のとき $n^2 = 1024 > 1000$ より、$N = 31$。

$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^{31} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{31} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{31} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{61} - \frac{1}{63} \right) \right] = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{63} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{62}{63} = \frac{31}{63}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n - 1$

(2) $b_1 = 1$、$n \ge 2$ のとき $b_n = 2n + 1$

(3) $N = 31$、$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{a_k b_k} = \frac{31}{63}$