与えられた条件から、関数 $y = ax^2$ の $a$ の値を求める。 (1) $x=4$ のとき $y=-2$ (2) $x$ が $-3$ から $5$ まで増加するとき、1次関数 $y=x+6$ と変化の割合が同じ。 (3) $x$ の変域が $-2 \le x \le 6$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 9$

## 問題の回答

### 問1

1. 問題の内容

与えられた条件から、関数 $y = ax^2$ の $a$ の値を求める。

(1) $x=4$ のとき $y=-2$

(2) $x$ が $-3$ から $5$ まで増加するとき、1次関数 $y=x+6$ と変化の割合が同じ。

(3) $x$ の変域が $-2 \le x \le 6$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 9$

2. 解き方の手順

(1) $x=4$, $y=-2$ を $y = ax^2$ に代入する。

$-2 = a(4)^2$

$-2 = 16a$

$a = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$

(2) 1次関数 $y = x+6$ の変化の割合は $1$ である。$x$ が $-3$ から $5$ まで増加するとき、$x$ の増加量は $5 - (-3) = 8$ である。$y$ の増加量は $ax^2$ より$a(5^2) - a(-3)^2 = 25a-9a=16a$ である。

変化の割合は $\frac{yの増加量}{xの増加量} = \frac{16a}{8} = 2a$。これが1に等しいので、

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

(3) $x$ の変域が $-2 \le x \le 6$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 9$ となる。$y = ax^2$ は、$x=0$ のとき $y=0$ である。$x$ の絶対値が大きいほど、$y$ の値も大きくなる。$x=6$のとき、$y=9$であるから、$9 = a(6)^2$。

$9 = 36a$

$a = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{8}$

(2) $a = \frac{1}{2}$

(3) $a = \frac{1}{4}$

### 問2

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ と直線 $y = -x + 6$ の交点 A, B がある。

(1) 放物線 $y = ax^2$ の $a$ の値を求める。

(2) $\triangle OAB$ の面積を求める。

(3) 点 B を通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 図から、点 A の座標は $(-3, 9)$, 点 B の座標は $(2, 4)$ である。点 A は $y = -x + 6$ 上にないため、Bの座標を使う。点 B $(2, 4)$ を $y = ax^2$ に代入する。

$4 = a(2)^2$

$4 = 4a$

$a = 1$

(2) $y = -x + 6$ と $y = x^2$ の交点を求める。

$x^2 = -x + 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

点 A の座標は $(-3, 9)$, 点 B の座標は $(2, 4)$ である。

直線 $y = -x + 6$ と $y$ 軸との交点を C とすると、C の座標は $(0, 6)$。

$\triangle OAB$ の面積は、$\triangle OAC$ の面積と $\triangle OBC$ の面積の和で求められる。

$\triangle OAC = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$

$\triangle OBC = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$

$\triangle OAB = 9 + 6 = 15$

(3) $\triangle OAB$ の面積を2等分する直線は、線分 $AB$ の中点を通る。

線分 $AB$ の中点を M とすると、M の座標は $\left( \frac{-3+2}{2}, \frac{9+4}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{13}{2} \right)$。

点 B $(2, 4)$ と点 M $\left( -\frac{1}{2}, \frac{13}{2} \right)$ を通る直線の式を $y = mx + n$ とすると、

$4 = 2m + n$

$\frac{13}{2} = -\frac{1}{2}m + n$

2式を引き算すると、

$4 - \frac{13}{2} = 2m + n - (-\frac{1}{2}m + n)$

$-\frac{5}{2} = \frac{5}{2}m$

$m = -1$

$4 = 2(-1) + n$

$4 = -2 + n$

$n = 6$

したがって、求める直線の式は $y = -x + 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $\triangle OAB = 15$

(3) $y = -x + 6$

### 問3

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2$ と直線 $y = ax + b$ の交点 A, B があり、それぞれの $x$ 座標は $-1, 2$ である。また、点 C は曲線上の点で、$x$ 座標は $-3$ である。

(1) 直線 $y = ax + b$ の $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$y = x^2$ 上の点 A, B の座標を求める。

A の $x$ 座標は $-1$ なので、$y = (-1)^2 = 1$。したがって A $(-1, 1)$。

B の $x$ 座標は $2$ なので、$y = (2)^2 = 4$。したがって B $(2, 4)$。

A $(-1, 1)$, B $(2, 4)$ を直線 $y = ax + b$ に代入する。

$1 = -a + b$

$4 = 2a + b$

2式を引き算すると、

$1 - 4 = -a + b - (2a + b)$

$-3 = -3a$

$a = 1$

$1 = -1 + b$

$b = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = 2$