$x > 0$, $y > 0$ かつ $3x + 4y = 12$ のとき、$xy$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$, $y > 0$ かつ $3x + 4y = 12$ のとき、$xy$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の関係を利用して解きます。

まず、$3x > 0$ かつ $4y > 0$ です。

相加相乗平均の関係より、

$\frac{3x + 4y}{2} \geq \sqrt{(3x)(4y)}$

が成り立ちます。

与えられた条件 $3x + 4y = 12$ を代入すると、

$\frac{12}{2} \geq \sqrt{12xy}$

$6 \geq \sqrt{12xy}$

両辺を2乗すると、

$36 \geq 12xy$

両辺を12で割ると、

$3 \geq xy$

したがって、$xy \leq 3$ となります。

等号成立条件は $3x = 4y$ のときです。

$3x + 4y = 12$ に $3x = 4y$ を代入すると、

$3x + 3x = 12$

$6x = 12$

$x = 2$

$3x = 4y$ より、$3(2) = 4y$ なので、$6 = 4y$

$y = \frac{3}{2}$

このとき、$x = 2 > 0$ かつ $y = \frac{3}{2} > 0$ を満たし、$3x + 4y = 3(2) + 4(\frac{3}{2}) = 6 + 6 = 12$ も満たしています。

$xy = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

3. 最終的な答え

$xy$ の最大値は $3$ です。