関数 $y = 2x^2$ のグラフ上の点Pと原点Oと点A(3,0)を結んでできる三角形POAについて、以下の問いに答えます。 (1) 点Pのx座標が2のとき、三角形POAの面積を求めます。 (2) 点Pのx座標をpとして、三角形POAの面積をpの式で表します。 (3) 三角形POAの面積が48cm²となるときの点Pの座標をすべて求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2$ のグラフ上の点Pと原点Oと点A(3,0)を結んでできる三角形POAについて、以下の問いに答えます。

(1) 点Pのx座標が2のとき、三角形POAの面積を求めます。

(2) 点Pのx座標をpとして、三角形POAの面積をpの式で表します。

(3) 三角形POAの面積が48cm²となるときの点Pの座標をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点Pのx座標が2なので、y座標は $y = 2(2^2) = 2(4) = 8$ となります。

したがって、点Pの座標は(2, 8)です。

三角形POAの面積は、底辺をOAとすると、高さは点Pのy座標に等しくなります。

OAの長さは3なので、三角形POAの面積は

$\frac{1}{2} \times 3 \times 8 = 12$ です。

(2) 点Pのx座標がpなので、y座標は $y = 2p^2$ となります。

したがって、点Pの座標は(p, $2p^2$)です。

三角形POAの面積は、底辺をOAとすると、高さは点Pのy座標に等しくなります。

OAの長さは3なので、三角形POAの面積は

$\frac{1}{2} \times 3 \times 2p^2 = 3p^2$ です。

(3) 三角形POAの面積が48cm²となるとき、$3p^2 = 48$ となります。

したがって、$p^2 = 16$ となり、$p = \pm 4$ となります。

p = 4のとき、点Pのy座標は $2(4^2) = 2(16) = 32$ なので、点Pの座標は(4, 32)です。

p = -4のとき、点Pのy座標は $2((-4)^2) = 2(16) = 32$ なので、点Pの座標は(-4, 32)です。

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) $3p^2$

(3) (4, 32), (-4, 32)