直線 $y=8$ が $y$ 軸と交わる点を A とし、2 つの関数 $y=2x^2$ と $y=ax^2$ ($a>0$) のグラフと交わる 4 点のうち、$x$ 座標が正である 2 点をそれぞれ B, C とする。 (1) 点 B の座標を求めよ。 (2) AB=BC であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y=8$ が $y$ 軸と交わる点を A とし、2 つの関数 $y=2x^2$ と $y=ax^2$ ($a>0$) のグラフと交わる 4 点のうち、$x$ 座標が正である 2 点をそれぞれ B, C とする。

(1) 点 B の座標を求めよ。

(2) AB=BC であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 B の座標を求める。点 B は $y=2x^2$ のグラフと $y=8$ の直線の交点である。よって、$2x^2 = 8$ を解いて、$x$ 座標を求める。ただし、$x>0$ である。

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$x>0$ より、$x = 2$

したがって、点 B の座標は $(2, 8)$ である。

(2) AB=BC であるとき、$a$ の値を求める。

点 A は直線 $y=8$ と $y$ 軸との交点なので、点 A の座標は $(0, 8)$ である。

AB = 2 - 0 = 2

BC = C の $x$ 座標 - B の $x$ 座標

点 C は $y=ax^2$ のグラフと $y=8$ の直線の交点である。よって、$ax^2 = 8$ を解いて、$x$ 座標を求める。ただし、$x>0$ である。

$x^2 = \frac{8}{a}$

$x = \sqrt{\frac{8}{a}} = 2\sqrt{\frac{2}{a}}$

したがって、点 C の $x$ 座標は $2\sqrt{\frac{2}{a}}$ である。

BC = $2\sqrt{\frac{2}{a}} - 2$

AB=BC より、$2 = 2\sqrt{\frac{2}{a}} - 2$

$4 = 2\sqrt{\frac{2}{a}}$

$2 = \sqrt{\frac{2}{a}}$

$4 = \frac{2}{a}$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 点 B の座標: $(2, 8)$

(2) $a$ の値: $\frac{1}{2}$