与えられた一次不定方程式 $3x+4y = 2017$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組が何組あるか、そして $|x-y|$ が最小となる組は何かを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた一次不定方程式 $3x+4y = 2017$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組が何組あるか、そして $|x-y|$ が最小となる組は何かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3x+4y = 2017$ を満たす自然数解の組数を求めます。

$3x = 2017 - 4y$ と変形します。$x$ が自然数であるためには、$2017 - 4y$ が $3$ の倍数でなければなりません。

$2017 \equiv 1 \pmod{3}$ なので、$4y \equiv 1 \pmod{3}$ である必要があります。

$4 \equiv 1 \pmod{3}$ より、$y \equiv 1 \pmod{3}$ です。

したがって、$y = 3k+1$ （$k$は整数）と表せます。これを元の式に代入すると：

$3x + 4(3k+1) = 2017$

$3x + 12k + 4 = 2017$

$3x = 2013 - 12k$

$x = 671 - 4k$

$x$と$y$が自然数なので、$x > 0$ かつ $y > 0$ である必要があります。

$x > 0 \Rightarrow 671 - 4k > 0 \Rightarrow 4k < 671 \Rightarrow k < \frac{671}{4} = 167.75$

$y > 0 \Rightarrow 3k + 1 > 0 \Rightarrow 3k > -1 \Rightarrow k > -\frac{1}{3}$

したがって、$k$ は $0$ から $167$ までの整数です。つまり、$k$の取りうる値は $168$ 個あるため、自然数解の組数は168です。

次に、$|x-y|$ が最小となる組を求めます。

$|x-y| = |(671-4k) - (3k+1)| = |670 - 7k|$

この値が最小になるような $k$ を探します。$670 - 7k = 0$ となる $k$ を考えると、$k = \frac{670}{7} \approx 95.71$ です。

$k$ が整数なので、周辺の $k=95$ と $k=96$ を調べます。

$k=95$ のとき、$x = 671 - 4(95) = 671 - 380 = 291$、$y = 3(95) + 1 = 285 + 1 = 286$

$|x-y| = |291 - 286| = 5$

$k=96$ のとき、$x = 671 - 4(96) = 671 - 384 = 287$、$y = 3(96) + 1 = 288 + 1 = 289$

$|x-y| = |287 - 289| = 2$

よって、$k=96$ のとき、$|x-y|$ が最小値 $2$ を取ります。

3. 最終的な答え

自然数 $(x, y)$ の組は 168 通りあり、その中で $|x-y|$ が最小となる組は $(x, y) = (287, 289)$ である。