不等式 $|x^2 - 9| < 2x + 8$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x^2 - 9| < 2x + 8$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(1) $x^2 - 9 \geq 0$ のとき、つまり $x \leq -3$ または $x \geq 3$ のとき

$x^2 - 9 < 2x + 8$

$x^2 - 2x - 17 < 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 68}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{2 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 3\sqrt{2}$

したがって、 $1 - 3\sqrt{2} < x < 1 + 3\sqrt{2}$

ここで、$3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242$ なので、

$1 - 3\sqrt{2} \approx -3.242$

$1 + 3\sqrt{2} \approx 5.242$

したがって、$1 - 3\sqrt{2} < x < 1 + 3\sqrt{2}$ と $x \leq -3$ または $x \geq 3$ の共通範囲は、

$1 - 3\sqrt{2} < x \leq -3$ または $3 \leq x < 1 + 3\sqrt{2}$

(2) $x^2 - 9 < 0$ のとき、つまり $-3 < x < 3$ のとき

$-(x^2 - 9) < 2x + 8$

$-x^2 + 9 < 2x + 8$

$0 < x^2 + 2x - 1$

$x^2 + 2x - 1 > 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x < -1 - \sqrt{2}$ または $x > -1 + \sqrt{2}$

ここで、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、

$-1 - \sqrt{2} \approx -2.414$

$-1 + \sqrt{2} \approx 0.414$

したがって、$x < -1 - \sqrt{2}$ または $x > -1 + \sqrt{2}$ と $-3 < x < 3$ の共通範囲は、

$-3 < x < -1 - \sqrt{2}$ または $-1 + \sqrt{2} < x < 3$

(1)と(2)の結果を合わせると、

$1 - 3\sqrt{2} < x \leq -3$ または $3 \leq x < 1 + 3\sqrt{2}$ または $-3 < x < -1 - \sqrt{2}$ または $-1 + \sqrt{2} < x < 3$

つまり、$1 - 3\sqrt{2} < x < -1 - \sqrt{2}$ または $-1 + \sqrt{2} < x < 1 + 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$1 - 3\sqrt{2} < x < -1 - \sqrt{2}, -1 + \sqrt{2} < x < 1 + 3\sqrt{2}$