(1) $(-0.2)^2 \div 0.008$ を計算する。 (2) $x^3 + y^3 + xy(xy+1)$ を因数分解する。 (3) 実数 $x$ について、 $|2x+4| - |x-4| > 0$ を解く。 (4) $x = \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3}$ のとき、$\sqrt{3}(x+2)$ の値を求める。 (5) $y = |x-5| - 2$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) $(-0.2)^2 \div 0.008$ を計算する。

(2) $x^3 + y^3 + xy(xy+1)$ を因数分解する。

(3) 実数 $x$ について、 $|2x+4| - |x-4| > 0$ を解く。

(4) $x = \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3}$ のとき、$\sqrt{3}(x+2)$ の値を求める。

(5) $y = |x-5| - 2$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$(-0.2)^2 = 0.04$ なので、

$0.04 \div 0.008 = \frac{0.04}{0.008} = \frac{40}{8} = 5$

(2)

$x^3 + y^3 + xy(x+y+1) = x^3 + y^3 + x^2y + xy^2 + xy$

$= (x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy(x+y+1) = (x+y)(x^2 - xy + y^2 + xy) + xy$

$= (x+y)(x^2+y^2) + xy = (x+y)(x^2+y^2) + xy$

$x^3+y^3+x^2y+xy^2+xy=x^3+y^3+xy(x+y)+xy = (x+y)(x^2-xy+y^2)+xy(x+y)+xy = (x+y)(x^2-xy+y^2+xy)+xy = (x+y)(x^2+y^2)+xy = (x+y)(x^2+y^2+xy/(x+y))$

$= x^3+y^3+x^2 y+x y^2+x y = (x+y)(x^2-xy+y^2)+xy(x+y+1) = (x+y)(x^2+y^2)+xy$

$=(x+y)(x^2+y^2+xy/(x+y))$. 答えは (x+y)(x^2 +y^2)+xy

(3)

$|2x+4| - |x-4| > 0$

$|2x+4| > |x-4|$

両辺を2乗して、 $(2x+4)^2 > (x-4)^2$

$4x^2+16x+16 > x^2 - 8x + 16$

$3x^2+24x > 0$

$3x(x+8) > 0$

$x < -8$ または $x > 0$

(4)

$x = \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3} = \frac{(\sqrt{3}-3)(\sqrt{3}-3)}{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-3)} = \frac{3-6\sqrt{3}+9}{3-9} = \frac{12-6\sqrt{3}}{-6} = -2+\sqrt{3}$

$\sqrt{3}(x+2) = \sqrt{3}(-2+\sqrt{3}+2) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$

(5)

$y = |x-5| - 2$

$y=0$ となるのは $|x-5| = 2$ のとき。 $x-5 = 2$ または $x-5 = -2$ より $x=7$ または $x=3$

$y$ の最小値は $x=5$ のとき $y = -2$

グラフは $(3,0), (7,0), (5,-2)$ を通る。

面積は $\frac{1}{2} \times (7-3) \times 2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) $(x+y)(x^2+y^2) + xy$

(3) $x < -8$ または $x > 0$

(4) 3 (オ)

(5) 4 (エ)