$x, y$ は整数であるとき、$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$ を満たす $(x, y)$ の組の数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ は整数であるとき、$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$ を満たす $(x, y)$ の組の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} + \frac{1}{y}$

$\frac{1}{x} = \frac{y+6}{6y}$

$x = \frac{6y}{y+6}$

$x = \frac{6(y+6)-36}{y+6}$

$x = 6 - \frac{36}{y+6}$

$x$ が整数であるためには、$\frac{36}{y+6}$ が整数である必要があります。つまり、$y+6$ は 36 の約数である必要があります。

36 の約数は $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$ の 18 個です。

$y+6$ がこれらの値をとるとき、$y$ は整数であり、$x = 6 - \frac{36}{y+6}$ も整数となります。

したがって、$y+6$ が 36 の約数となる $y$ の値の数だけ、$(x, y)$ の組が存在します。

$y+6 = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

それぞれの $y$ の値は次のようになります。

$y = -5, -7, -4, -8, -3, -9, -2, -10, 0, -12, 3, -15, 6, -18, 12, -24, 30, -42$

それぞれの $x$ の値は次のようになります。

$x = 6 - 36 = -30$

$x = 6 + 36 = 42$

$x = 6 - 18 = -12$

$x = 6 + 18 = 24$

$x = 6 - 12 = -6$

$x = 6 + 12 = 18$

$x = 6 - 9 = -3$

$x = 6 + 9 = 15$

$x = 6 - 6 = 0$

$x = 6 + 6 = 12$

$x = 6 - 4 = 2$

$x = 6 + 4 = 10$

$x = 6 - 3 = 3$

$x = 6 + 3 = 9$

$x = 6 - 2 = 4$

$x = 6 + 2 = 8$

$x = 6 - 1 = 5$

$x = 6 + 1 = 7$

ただし、$x=0$ は $\frac{1}{x}$ が定義できないため除外します。この場合、$y+6=-6$ より、$y=-12$ なので、$x=6-(-6)=12$ でした。$x=0$となるケースは存在しません。

したがって、$y+6$ が 36 の約数となる $y$ の値の数だけ、$(x, y)$ の組が存在します。36の約数は18個なので、18組存在します。

3. 最終的な答え

18組