行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の2つの関数 $f(t)$ に対して、ケイリー・ハミルトンの定理を用いて $f(A)$ を計算する問題です。 (1) $f(t) = t^{20}$ (2) $f(t) = t^{11} + t^7 - 2$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の2つの関数 $f(t)$ に対して、ケイリー・ハミルトンの定理を用いて $f(A)$ を計算する問題です。

(1) $f(t) = t^{20}$

(2) $f(t) = t^{11} + t^7 - 2$

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の特性多項式を求めます。

特性多項式は $det(tI - A)$ で計算されます。

$det(tI - A) = det \begin{bmatrix} t-2 & -1 \\ 7 & t+3 \end{bmatrix} = (t-2)(t+3) - (-1)(7) = t^2 + 3t - 2t - 6 + 7 = t^2 + t + 1$

ケイリー・ハミルトンの定理より、$A^2 + A + I = 0$ が成り立ちます。したがって、$A^2 = -A - I$ です。

(1) $f(t) = t^{20}$ の場合：

$t^{20}$ を $t^2 + t + 1$ で割ったときの商を $q(t)$、余りを $at + b$ とすると、$t^{20} = (t^2 + t + 1)q(t) + at + b$ となります。

このとき、$f(A) = aA + bI$ となります。

$t^2 + t + 1 = 0$ の解は $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} = \omega, \omega^2$ （1の虚立方根）です。

$\omega^{20} = (\omega^3)^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$

$(\omega^2)^{20} = \omega^{40} = (\omega^3)^{13} \cdot \omega = \omega$

したがって、

$a\omega + b = \omega^2$

$a\omega^2 + b = \omega$

2つの式を引き算すると、$a(\omega - \omega^2) = \omega^2 - \omega$ より、$a = -1$ です。

$b = \omega^2 + \omega = -1$

したがって、$f(A) = -A - I = -\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$

(2) $f(t) = t^{11} + t^7 - 2$ の場合：

$t^{11} + t^7 - 2$ を $t^2 + t + 1$ で割ったときの余りを $at + b$ とすると、$t^{11} + t^7 - 2 = (t^2 + t + 1)q(t) + at + b$ となります。

$\omega^{11} + \omega^7 - 2 = (\omega^3)^3 \cdot \omega^2 + (\omega^3)^2 \cdot \omega - 2 = \omega^2 + \omega - 2 = -1 - 2 = -3$

$(\omega^2)^{11} + (\omega^2)^7 - 2 = \omega^{22} + \omega^{14} - 2 = (\omega^3)^7 \cdot \omega + (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 \cdot \omega^2 = \omega + \omega^2 - 2 = -1 - 2 = -3$

したがって、

$a\omega + b = -3$

$a\omega^2 + b = -3$

$a(\omega - \omega^2) = 0$ より、$a=0$ です。

$b = -3$

したがって、$f(A) = -3I = -3\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $f(A) = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$

(2) $f(A) = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$