$-1 \le x \le 2$ の範囲のすべての実数 $x$ に対して、$x^2 - 2ax + 3 \ge 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$-1 \le x \le 2$ の範囲のすべての実数 $x$ に対して、$x^2 - 2ax + 3 \ge 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2ax + 3$ とおく。この不等式が $-1 \le x \le 2$ の範囲で常に成り立つための条件を考える。

$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + 3$

軸は $x = a$ である。

(i) $a < -1$ のとき

$f(x)$ は $-1 \le x \le 2$ で単調減少であるから、$f(2) \ge 0$ が条件となる。

$f(2) = 4 - 4a + 3 = 7 - 4a \ge 0$

$4a \le 7$

$a \le \frac{7}{4}$

$a < -1$ と $a \le \frac{7}{4}$ より $a < -1$

(ii) $-1 \le a \le 2$ のとき

$f(x)$ の最小値は $f(a) = -a^2 + 3$ であるから、$-a^2 + 3 \ge 0$ が条件となる。

$a^2 \le 3$

$-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$

$-1 \le a \le 2$ と $-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$ より、$-1 \le a \le \sqrt{3}$

(iii) $a > 2$ のとき

$f(x)$ は $-1 \le x \le 2$ で単調増加であるから、$f(-1) \ge 0$ が条件となる。

$f(-1) = 1 + 2a + 3 = 2a + 4 \ge 0$

$2a \ge -4$

$a \ge -2$

$a > 2$ と $a \ge -2$ より $a > 2$

(i), (ii), (iii)を合わせると、$a < -1$ または $-1 \le a \le \sqrt{3}$ または $a > 2$

しかし、このままでは不連続な範囲となってしまうので、場合分けではなく、軸の位置で考える。

$f(x) = x^2 - 2ax + 3 \ge 0$ が$-1 \le x \le 2$で常に成り立つ条件を求める。

軸 $a$ が$-1 < a < 2$ のとき、最小値は$f(a) = -a^2+3$より、$-a^2+3 \ge 0$から$-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$.

$f(-1) = 1+2a+3 = 2a+4 \ge 0$より、$a \ge -2$.

$f(2) = 4-4a+3 = 7-4a \ge 0$より、$a \le \frac{7}{4}$.

以上から、$-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$.

$a \le -1$のとき、$f(-1) = 2a+4 \ge 0$より、$a \ge -2$. よって、$-2 \le a \le -1$.

$a \ge 2$のとき、$f(2) = 7-4a \ge 0$より、$a \le \frac{7}{4}$. よって、$2 \le a \le \frac{7}{4}$.

これらの範囲を合わせると、$-2 \le a \le \frac{7}{4}$.

また，$f(x) \ge 0$となるためには、判別式 $D/4 = a^2 - 3 \le 0$ が必要。よって $-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$.

(i), (ii) の条件を合わせて考えると、$a \le \sqrt{3}$ となる。

よって、$a \le \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a \le \sqrt{3}$