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問題は以下の連立一次方程式を掃き出し法を用いて解くことです。 (1) $ \begin{cases} -5x + 2y + z = 2 \\ -3x + y + 2z = 0 \\ 6x - 2y - 3z = -1 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ 4x + 3y + 7z = 0 \\ 6x + 2y + 8z = 0 \end{cases} $

代数学連立一次方程式掃き出し法線形代数
2025/8/6

1. 問題の内容

問題は以下の連立一次方程式を掃き出し法を用いて解くことです。
(1)
\begin{cases}
-5x + 2y + z = 2 \\
-3x + y + 2z = 0 \\
6x - 2y - 3z = -1
\end{cases}
(2)
\begin{cases}
2x - y + z = 0 \\
4x + 3y + 7z = 0 \\
6x + 2y + 8z = 0
\end{cases}

2. 解き方の手順

(1) 掃き出し法を用いて解きます。
拡大係数行列は以下の通りです。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
-5 & 2 & 1 & 2 \\
-3 & 1 & 2 & 0 \\
6 & -2 & -3 & -1
\end{array}
\right]
まず、2行目を-2倍して1行目に加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -3 & 2 \\
-3 & 1 & 2 & 0 \\
6 & -2 & -3 & -1
\end{array}
\right]
次に、1行目を3倍して2行目に加えます。また、1行目を-6倍して3行目に加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -3 & 2 \\
0 & 1 & -7 & 6 \\
0 & -2 & 15 & -13
\end{array}
\right]
次に、2行目を2倍して3行目に加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -3 & 2 \\
0 & 1 & -7 & 6 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
次に、3行目を3倍して1行目に加えます。また、3行目を7倍して2行目に加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
したがって、x=−1x = -1, y=−1y = -1, z=−1z = -1です。
(2) 掃き出し法を用いて解きます。
拡大係数行列は以下の通りです。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 0 \\
4 & 3 & 7 & 0 \\
6 & 2 & 8 & 0
\end{array}
\right]
1行目を-2倍して2行目に加えます。また、1行目を-3倍して3行目に加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 5 & 0 \\
0 & 5 & 5 & 0
\end{array}
\right]
2行目を-1倍して3行目に加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
2行目を1/5倍します。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
2行目を1倍して1行目に加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
1行目を1/2倍します。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
したがって、x=−zx = -z, y=−zy = -zです。z=tz = tとすると、x=−tx = -t, y=−ty = -tです。

3. 最終的な答え

(1) x=−1x = -1, y=−1y = -1, z=−1z = -1
(2) x=−tx = -t, y=−ty = -t, z=tz = t (tは任意の実数)

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