実数 $x, y$ に対して、$z = -2x^2 + y^2$ を定義する。 (1) $x, y$ が $2x + y = 3$ を満たしながら変化するとき、$z$ の最小値を求める。 (2) $k$ を実数の定数とし、$x, y$ が $x^2 + y - k$ を満たしながら変化するとき、$z$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して、$z = -2x^2 + y^2$ を定義する。

(1) $x, y$ が $2x + y = 3$ を満たしながら変化するとき、$z$ の最小値を求める。

(2) $k$ を実数の定数とし、$x, y$ が $x^2 + y - k$ を満たしながら変化するとき、$z$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2x + y = 3$ より、$y = -2x + 3$ である。

$z = -2x^2 + y^2 = -2x^2 + (-2x + 3)^2 = -2x^2 + 4x^2 - 12x + 9 = 2x^2 - 12x + 9$ となる。

平方完成すると、$z = 2(x^2 - 6x) + 9 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 9 = 2(x - 3)^2 - 18 + 9 = 2(x - 3)^2 - 9$ となる。

$x$ は実数なので、$(x - 3)^2 \ge 0$。したがって、$z$ は $x = 3$ のとき最小値 $-9$ をとる。

$x = 3$ のとき、$y = -2(3) + 3 = -6 + 3 = -3$ である。

(2) $x^2 + y = k$ より、$y = k - x^2$ である。

したがって、$z = -2x^2 + (k - x^2)^2 = -2x^2 + k^2 - 2kx^2 + x^4 = x^4 - (2k + 2)x^2 + k^2$ となる。

ここで、$t = x^2$ とおくと、$t \ge 0$ であり、$z = t^2 - (2k + 2)t + k^2$ となる。

$z = (t - (k + 1))^2 - (k + 1)^2 + k^2 = (t - (k + 1))^2 - (k^2 + 2k + 1) + k^2 = (t - (k + 1))^2 - 2k - 1$ となる。

したがって、$z = (x^2 - (k + 1))^2 - 2k - 1$ となる。

$x$ が実数全体を動くとき、$x^2$ は $0$ 以上の実数全体を動く。

$x^2 = t$ とおくと、$t \ge 0$。

(i) $k + 1 \ge 0$ つまり、$k \ge -1$ のとき、$t = x^2 = k + 1$ で最小値 $-2k - 1$ をとる。

(ii) $k + 1 < 0$ つまり、$k < -1$ のとき、$t = x^2 = 0$ で最小値 $k^2$ をとる。

$x^2 + y = k$ のグラフは $y = -x^2 + k$ で、$y = -x^2$ のグラフを $y$ 軸方向に $k$ だけ平行移動したものであるから、$x$ が実数全体を動くとき、$y \le k$ である。

(i) $k = 2$ のとき、$k \ge -1$ なので、$z$ の最小値は $-2(2) - 1 = -4 - 1 = -5$ である。

(ii) $z$ の最小値が $4$ となるとき、

$k \ge -1$ ならば $-2k - 1 = 4$ より、$-2k = 5$ なので $k = -\frac{5}{2}$ となり、これは $k \ge -1$ に反する。

$k < -1$ ならば $k^2 = 4$ より、$k = \pm 2$。$k < -1$ なので、$k = -2$ である。

(1) ア: 2, イウ: 12, エ: 9, オ: 3, カ: -3, キ: -9

(2) ク: 2, ケ: k^2, コ: y, サ: y<=k, シ: -5, スセ: -2, ソ: なし, タ: なし

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, イウ: 12, エ: 9, オ: 3, カ: -3, キ: -9

(2) ク: 2, ケ: k^2, コ: y, サ: y<=k, シ: -5, スセ: -2, ソ: なし, タ: なし