練習29(1): 和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求めよ。 練習30(1): 和 $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、練習29(1)と練習30(1)を解きます。

1. 問題の内容

練習29(1): 和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求めよ。

練習30(1): 和 $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

練習29(1)

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1$

$= 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n}{2} [(n+1)(2n+1) - 7(n+1) + 8]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 3n + 1 - 7n - 7 + 8]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 - 4n + 2]$

$= n(n^2 - 2n + 1)$

$= n(n-1)^2$

練習30(1)

$2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k)^2$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = \sum_{k=1}^{n} 4k^2 = 4\sum_{k=1}^{n} k^2$

$= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

練習29(1): $n(n-1)^2$

練習30(1): $\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$