与えられた2次関数に関する様々な問題に答える問題です。具体的には、放物線の向き、軸、頂点の座標、平行移動、最小値・最大値を求める問題が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた2次関数に関する様々な問題に答える問題です。具体的には、放物線の向き、軸、頂点の座標、平行移動、最小値・最大値を求める問題が含まれています。

2. 解き方の手順

[1]

(1)

* $y = x^2 - 8x + 7$ のグラフは、$x^2$の係数が正なので下に凸の放物線です。よってアは2です。

* $y = x^2 - 8x + 7 = (x - 4)^2 - 16 + 7 = (x - 4)^2 - 9$。軸は $x = 4$ (イ) です。

* 頂点は $(4, -9)$ (ウ=4, エオ=-9) です。

(2)

* $y = 2x^2 - 8x + 9 = 2(x^2 - 4x) + 9 = 2(x - 2)^2 - 8 + 9 = 2(x - 2)^2 + 1$。頂点は $(2, 1)$ (カ=2, キ=1) です。

* $y = 2(x+1)^2 + 7$ の頂点は $(-1, 7)$です。

* $(2, 1)$ を $x$軸方向に $a$、$y$軸方向に $b$ だけ平行移動すると $(-1, 7)$ になるので、

$2 + a = -1$ より $a = -3$ (クケ=-3)。

$1 + b = 7$ より $b = 6$ (コ=6)。

(3)

* 軸が $x = 3$ なので、$y = a(x - 3)^2 + q$ と表せます。

* 点$(1, 1)$と$(2, 7)$を通るので、以下の式が成り立ちます。

$1 = a(1 - 3)^2 + q = 4a + q$

$7 = a(2 - 3)^2 + q = a + q$

* 上の2つの式から、$4a + q = 1$ と $a + q = 7$ を解くと、

$3a = -6$ より $a = -2$ (サシ=-2)。

$q = 7 - a = 7 - (-2) = 9$ (セ=9)。

* よって、$y = -2(x - 3)^2 + 9$ (ス=3)です。

[2]

(1)

* $y = x^2 - 6x + 4 = (x - 3)^2 - 9 + 4 = (x - 3)^2 - 5$。

* $x = 3$ (ソ=3) のとき最小値 $-5$ (タチ=-5) をとります。

(2)

* $y = -3x^2 + 12x - 8 = -3(x^2 - 4x) - 8 = -3(x - 2)^2 + 12 - 8 = -3(x - 2)^2 + 4$ (ツ=2, テ=4)。

* 定義域が $1 \le x \le 4$ のとき、

$x = 2$ で最大値 $4$ (ト=2, ナ=4) をとります。

$x = 4$ で最小値 $y = -3(4-2)^2 + 4 = -3(4) + 4 = -12 + 4 = -8$ (二=4, ヌネ=-8) をとります。

3. 最終的な答え

[1]

(1) ア: 2, イ: 4, ウ: 4, エオ: -9

(2) カ: 2, キ: 1, クケ: -3, コ: 6

(3) サシ: -2, ス: 3, セ: 9

[2]

(1) ソ: 3, タチ: -5

(2) ツ: 2, テ: 4, ト: 2, ナ: 4, 二: 4, ヌネ: -8