## 数列の一般項を求める問題

## 数列の一般項を求める問題

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について一般項を求めます。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n + 2n^2 - 2n - 1$ ($n \geq 1$)

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - 2a_n = n \cdot 2^{n+1}$ ($n \geq 1$)

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{n-1}{n(n+1)}$ ($n \geq 1$)

## 解き方の手順

### (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n + 2n^2 - 2n - 1$ の場合

1. $a_{n+1} = 3a_n + 2n^2 - 2n - 1$ を解くために、$a_n = bn^2 + cn + d$ を仮定して、特性方程式の解を見つけます。

2. $a_{n+1} = 3a_n + 2n^2 - 2n - 1$ に代入します。

3. 係数を比較し、$b$, $c$, $d$を求めます。

4. $a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ の形に変形します。$\alpha$を求めます。

数列$\{a_n - \alpha\}$は等比数列であることを利用します。

5. 一般項 $a_n$ を求めます。

### (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} - 2a_n = n \cdot 2^{n+1}$ の場合

1. $a_{n+1} - 2a_n = n \cdot 2^{n+1}$ の両辺を $2^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \frac{a_n}{2^n} = n$

2. $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、$b_{n+1} - b_n = n$ となります。

3. $b_n$ の一般項を求めます。$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = b_1 + \frac{(n-1)n}{2}$

4. $a_n = 2^n b_n$ より、$a_n$ の一般項を求めます。

### (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{n-1}{n(n+1)}$ の場合

1. $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{n-1}{n(n+1)}$ の両辺に $2^{n+1}$ を掛けます。

$2^{n+1}a_{n+1} = 2^n a_n + 2^{n+1}\frac{n-1}{n(n+1)}$

2. $b_n = 2^n a_n$ とおくと、$b_{n+1} = b_n + 2^{n+1}\frac{n-1}{n(n+1)}$ となります。

3. $b_{n+1} - b_n = 2^{n+1}\frac{n-1}{n(n+1)}$

4. $b_n$ の一般項を求めます。$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k+1} \frac{k-1}{k(k+1)}$

5. $a_n = 2^{-n}b_n$ より、$a_n$ の一般項を求めます。部分分数分解を利用します。

## 最終的な答え

(1) $a_n = -n^2 +1$

(2) $a_n = (1 + \frac{(n-1)n}{2})2^n = (1 + \frac{n^2-n}{2})2^n$

(3) $a_n = \frac{4}{n+1} -2^{1-n}$