与えられた2つの数列の和を求める問題です。 (1) $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ (2) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の和を求める問題です。

(1) $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$

(2) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$

2. 解き方の手順

(1)

数列の一般項は $(2k)^2 = 4k^2$と表せるので、求める和は

$\sum_{k=1}^n (2k)^2 = \sum_{k=1}^n 4k^2 = 4 \sum_{k=1}^n k^2$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$を用いると、

$4 \sum_{k=1}^n k^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

(2)

数列の一般項は $(2k-1)^2$と表せるので、求める和は

$\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^n 1 = n$を用いると、

$4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3)}{3}$

$= \frac{n(2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3)}{3} = \frac{n(4n^2+6n+2 - 6n - 3)}{3} = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

(2) $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$