与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

4x4行列の行列式は、様々な方法で計算できます。ここでは、第一行で余因子展開する方法を示します。

与えられた行列を$B$とすると、

$B = \begin{bmatrix}

5 & 1 & 3 & 4 \\

2 & 4 & 2 & 1 \\

3 & 2 & -5 & 2 \\

1 & 2 & 1 & -4

\end{bmatrix}$

行列式$|B|$は、第一行で余因子展開すると、次のようになります。

$|B| = 5C_{11} + 1C_{12} + 3C_{13} + 4C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は$(i,j)$要素の余因子です。

余因子は、$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$で計算されます。ここで、$M_{ij}$は$(i,j)$要素の小行列式です。

$M_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & 2 \\ 2 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 4(20-2) - 2(-8-4) + 1(2+10) = 72 + 24 + 12 = 108$

$C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = 108$

$M_{12} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \\ 1 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 2(20-2) - 2(-12-2) + 1(3+5) = 36 + 28 + 8 = 72$

$C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -72$

$M_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = 2(-8-4) - 4(-12-2) + 1(6-2) = -24 + 56 + 4 = 36$

$C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = 36$

$M_{14} = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & -5 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(2+10) - 4(3+5) + 2(6-2) = 24 - 32 + 8 = 0$

$C_{14} = (-1)^{1+4}M_{14} = 0$

したがって、$|B| = 5(108) + 1(-72) + 3(36) + 4(0) = 540 - 72 + 108 + 0 = 576$

3. 最終的な答え

576