与えられた行列の階数（ランク）を求める問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 6 & 8 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の階数（ランク）を求める問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 1 & 2 & 3 \\

1 & 2 & 3 & 4 \\

3 & 0 & 1 & 2 \\

1 & 4 & 6 & 8

\end{bmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行基本変形によって階段行列に変形したときの、0でない行の数に等しくなります。

行基本変形を用いて、行列を簡約化します。

まず、1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

2 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 0 & 1 & 2 \\

1 & 4 & 6 & 8

\end{bmatrix}

$$

次に、2行目を1行目の-2倍を足します。3行目に1行目の-3倍を足します。4行目に1行目の-1倍を足します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

0 & -3 & -4 & -5 \\

0 & -6 & -8 & -10 \\

0 & 2 & 3 & 4

\end{bmatrix}

$$

次に、2行目を-1/3倍します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

0 & 1 & 4/3 & 5/3 \\

0 & -6 & -8 & -10 \\

0 & 2 & 3 & 4

\end{bmatrix}

$$

次に、3行目に2行目の6倍を足します。4行目に2行目の-2倍を足します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

0 & 1 & 4/3 & 5/3 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1/3 & 2/3

\end{bmatrix}

$$

次に、3行目と4行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

0 & 1 & 4/3 & 5/3 \\

0 & 0 & 1/3 & 2/3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

次に、3行目を3倍します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

0 & 1 & 4/3 & 5/3 \\

0 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

これで階段行列になりました。0でない行は3行あります。したがって、行列の階数は3です。

3. 最終的な答え

3