与えられた2つの和を計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

1. 問題の内容

与えられた2つの和を計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

2. 解き方の手順

(1) これは初項2、公比5の等比数列の和です。等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$ を使います。

$a = 2$, $r = 5$ を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1} = 2 \cdot \frac{1-5^n}{1-5} = 2 \cdot \frac{1-5^n}{-4} = \frac{1}{2}(5^n - 1)$

(2) これは初項1、公比3の等比数列の和です。等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}$ を使います。

$a = 1$, $r = 3$ を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = 1 \cdot \frac{1-3^n}{1-3} = \frac{1-3^n}{-2} = \frac{3^n - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1} = \frac{5^n - 1}{2}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = \frac{3^n - 1}{2}$