与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\ -5 & -1 & 3 \end{bmatrix}$、 $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$、 $c = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$ に対して、以下の行列の積を計算する問題です。計算できない場合は「計算不能」と答えます。 (i) $AB$ (ii) $BA$ (iii) $^tAc$ (iv) $^tBc$ (v) $Bc^t$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\ -5 & -1 & 3 \end{bmatrix}$、 $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$、 $c = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$ に対して、以下の行列の積を計算する問題です。計算できない場合は「計算不能」と答えます。

(i) $AB$

(ii) $BA$

(iii) $^tAc$

(iv) $^tBc$

(v) $Bc^t$

2. 解き方の手順

(i) $AB$の計算

行列$A$は3x3行列、行列$B$は2x3行列です。行列の積$AB$を計算するためには、$A$の列数と$B$の行数が一致している必要がありますが、この場合一致していません。したがって、$AB$は計算不能です。

(ii) $BA$の計算

行列$B$は2x3行列、行列$A$は3x3行列です。行列の積$BA$を計算するためには、$B$の列数と$A$の行数が一致している必要があります。この場合、どちらも3なので計算可能です。

$BA = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\ -5 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(2)+3(-3)+1(-5) & 1(3)+3(1)+1(-1) & 1(-1)+3(2)+1(3) \\ 2(2)+0(-3)+(-1)(-5) & 2(3)+0(1)+(-1)(-1) & 2(-1)+0(2)+(-1)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-9-5 & 3+3-1 & -1+6+3 \\ 4+0+5 & 6+0+1 & -2+0-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 & 5 & 8 \\ 9 & 7 & -5 \end{bmatrix}$

(iii) $^tAc$の計算

$^tA$は$A$の転置行列なので、行と列を入れ替えます。

$^tA = \begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ 3 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

$^tA$は3x3行列、ベクトル$c$は3x1行列です。

$^tAc = \begin{bmatrix} 2 & -3 & -5 \\ 3 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(1)+(-3)(-2)+(-5)(3) & 3(1)+1(-2)+(-1)(3) & -1(1)+2(-2)+3(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+6-15 \\ 3-2-3 \\ -1-4+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

(iv) $^tBc$の計算

$^tB$は$B$の転置行列なので、行と列を入れ替えます。

$^tB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$^tB$は3x2行列、ベクトル$c$は3x1行列です。行列の積を計算するためには、$^tB$の列数と$c$の行数が一致している必要がありますが、この場合一致していません。したがって、$^tBc$は計算不能です。

(v) $Bc^t$の計算

$B$は2x3行列、$c^t$は$c$の転置行列なので、

$c^t = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$

$c^t$は1x3行列です。行列の積$Bc^t$を計算するためには、$B$の列数と$c^t$の行数が一致している必要がありますが、この場合一致していません。したがって、$Bc^t$は計算不能です。

3. 最終的な答え

(i) 計算不能

(ii) $\begin{bmatrix} -12 & 5 & 8 \\ 9 & 7 & -5 \end{bmatrix}$

(iii) $\begin{bmatrix} -7 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

(iv) 計算不能

(v) 計算不能