次の和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$

1. 問題の内容

次の和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求める。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

を用いる。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1$

$= 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n}{2}[(n+1)(2n+1) - 7(n+1) + 8]$

$= \frac{n}{2}[2n^2 + 3n + 1 - 7n - 7 + 8]$

$= \frac{n}{2}[2n^2 - 4n + 2]$

$= n(n^2 - 2n + 1)$

$= n(n-1)^2$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$ を求める。

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2)$

$= \sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{9n(n+1)}{6} + \frac{12n}{6}$

$= \frac{n}{6}[(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 12]$

$= \frac{n}{6}[2n^2 + 3n + 1 - 9n - 9 + 12]$

$= \frac{n}{6}[2n^2 - 6n + 4]$

$= \frac{n}{3}[n^2 - 3n + 2]$

$= \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n-1)^2$

(2) $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$