$-1 \le x \le 2$ であるすべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2ax + 3 \ge 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$-1 \le x \le 2$ であるすべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2ax + 3 \ge 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 2ax + 3$ とおく。この2次関数が $-1 \le x \le 2$ の範囲で常に $f(x) \ge 0$ となるような $a$ の範囲を求める。

$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 3$

となる。軸は $x = a$ である。

(i) $a < -1$ のとき：

$f(x)$ は $-1 \le x \le 2$ で単調減少なので、$f(2) \ge 0$ であればよい。

$f(2) = 2^2 - 2a(2) + 3 = 4 - 4a + 3 = 7 - 4a \ge 0$

$4a \le 7$

$a \le \frac{7}{4}$

$a < -1$ より、この場合は $a \le -1$

(ii) $-1 \le a \le 2$ のとき：

$f(x)$ の最小値は $f(a) = -a^2 + 3$ となる。

$-a^2 + 3 \ge 0$

$a^2 \le 3$

$-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$

$-1 \le a \le 2$ と合わせて、$-1 \le a \le \sqrt{3}$

(iii) $a > 2$ のとき：

$f(x)$ は $-1 \le x \le 2$ で単調増加なので、$f(-1) \ge 0$ であればよい。

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + 3 = 1 + 2a + 3 = 4 + 2a \ge 0$

$2a \ge -4$

$a \ge -2$

$a > 2$ より、この場合は $a > 2$

以上をまとめると、

(i) $a \le -1$

(ii) $-1 \le a \le \sqrt{3}$

(iii) $a > 2$

(i)と(ii)を合わせると $a \le \sqrt{3}$ となる。

(iii)は $a > 2$ なので、$a \le \sqrt{3}$ と合わせて、$a \le \sqrt{3}$ となる。

3. 最終的な答え

$a \le \sqrt{3}$