実数 $k$ を定数とし、$x$ についての2つの条件 $p: |x-2| < 1$ と $q: k-3 \le x \le k$ を考える。 問1：条件 $p$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。 問2：命題「$p \implies q$」が真となるような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とし、$x$ についての2つの条件 $p: |x-2| < 1$ と $q: k-3 \le x \le k$ を考える。

問1：条件 $p$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

問2：命題「$p \implies q$」が真となるような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

問1：

絶対値の不等式 $|x-2| < 1$ を解く。

$-1 < x-2 < 1$

$1 < x < 3$

問2：

命題「$p \implies q$」が真となるためには、$p$ を満たす全ての $x$ が $q$ を満たさなければならない。

すなわち、$1 < x < 3$ を満たす全ての $x$ が $k-3 \le x \le k$ を満たす必要がある。

$1 < x < 3$ より、$1$ より大きく $3$ より小さいすべての $x$ について、$k-3 \le x \le k$ が成り立つ必要がある。

したがって、$k-3 \le 1$ かつ $k \ge 3$ でなければならない。

$k - 3 \le 1$ より、$k \le 4$

$k \ge 3$

よって、$3 \le k \le 4$

3. 最終的な答え

問1：d

問2：e