関数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ と定義し、集合 $T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ と定義します。 (1) $f^{-1}(T_1^c)$ を求めよ。ここで、$T_1^c$ は $T_1$ の補集合を表す。 (2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ここで、$(f^{-1}(T_1))^c$ は $f^{-1}(T_1)$ の補集合を表す。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ と定義し、集合 $T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ と定義します。

(1) $f^{-1}(T_1^c)$ を求めよ。ここで、$T_1^c$ は $T_1$ の補集合を表す。

(2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ここで、$(f^{-1}(T_1))^c$ は $f^{-1}(T_1)$ の補集合を表す。

2. 解き方の手順

(1) まず、$T_1^c$ を求めます。

$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ なので、$T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\}$ となります。

$x^2 \leq 8$ を満たす整数 $x$ は、$-2 \leq x \leq 2$ です。つまり、$x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ を満たす$x$について、$x^2 \le 4 < 8$, $x \in \{-3,-4,...\} \cup \{3,4,...\}$ について、$x^2 \ge 9 > 8$ となるので、$T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$です。

次に、$f^{-1}(T_1^c)$ を求めます。

$f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1^c\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}\}$となります。

$x^2 \ge 0$ なので、$x^2$は $-2$ や $-1$ にはなり得ません。

$x^2 = 0$ となるのは $x = 0$ のときです。

$x^2 = 1$ となるのは $x = -1, 1$ のときです。

$x^2 = 2$ となる整数は存在しません。

したがって、$f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in \{0, 1\}\} = \{-1, 0, 1\}$ となります。

(2) まず、$f^{-1}(T_1)$ を求めます。

$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$となります。

$x^2 > 8$ を満たす整数 $x$ は、$x \leq -3$ または $x \geq 3$ です。

したがって、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \leq -3 \text{ or } x \geq 3\}$となります。

次に、$(f^{-1}(T_1))^c$ を求めます。

$(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \notin f^{-1}(T_1)\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \in \mathbb{Z} \text{ and } x > -3 \text{ and } x < 3\}$となります。

したがって、$(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 3\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(T_1^c) = \{-1, 0, 1\}$

理由は、$T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ であり、$f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in T_1^c\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}\} = \{-1, 0, 1\}$ となるため。

(2) $(f^{-1}(T_1))^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

理由は、$f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \leq -3 \text{ or } x \geq 3\}$ であり、$(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < 3\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ となるため。