(1) 15以下の素数の個数を求める。 (2) 68, 60, 144を素因数分解する。 (3) $392 = 2^3 \times 7^2$ と因数分解できるとき、6, 8, 16, 28の中から392の約数を選ぶ。 (4) $135n$がある自然数の2乗となるような自然数$n$のうち、最も小さい値を求める。

1. 問題の内容

(1) 15以下の素数の個数を求める。

(2) 68, 60, 144を素因数分解する。

(3) $392 = 2^3 \times 7^2$ と因数分解できるとき、6, 8, 16, 28の中から392の約数を選ぶ。

(4) $135n$がある自然数の2乗となるような自然数$n$のうち、最も小さい値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 素数とは、1とその数自身以外に約数を持たない自然数です。15以下の素数をすべて列挙し、その個数を数えます。

15以下の素数は、2, 3, 5, 7, 11, 13の6個です。

(2) それぞれの数を素因数分解します。

* 68 = 2 × 34 = 2 × 2 × 17

* 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5

* 144 = 2 × 72 = 2 × 2 × 36 = 2 × 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

(3) $392 = 2^3 \times 7^2$の約数は、$2^a \times 7^b$の形で表され、ここで$0 \le a \le 3$かつ$0 \le b \le 2$です。与えられた選択肢のそれぞれについて、392の約数であるかどうかを確認します。

* 6 = 2 × 3 は 392 の約数ではありません。

* 8 = $2^3$ は 392 の約数です。

* 16 = $2^4$ は 392 の約数ではありません。

* 28 = 4 × 7 = $2^2 \times 7$ は 392 の約数です。

(4) $135n$ がある自然数の2乗になるためには、$135n$ の素因数分解において、すべての素数の指数が偶数でなければなりません。まず、135を素因数分解します。

$135 = 5 \times 27 = 5 \times 3 \times 9 = 5 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^3 \times 5$

したがって、$135n = 3^3 \times 5 \times n$となります。$135n$が2乗になるためには、$n$は少なくとも3と5を素因数として含まなければなりません。したがって、$n = 3 \times 5 = 15$の場合、$135n = 3^3 \times 5 \times (3 \times 5) = 3^4 \times 5^2 = (3^2 \times 5)^2 = (9 \times 5)^2 = 45^2 = 2025$となり、これはある自然数の2乗です。

3. 最終的な答え

(1) 6個

(2) ① $2^2 \times 17$、② $2^2 \times 3 \times 5$、③ $2^4 \times 3^2$

(3) イ、エ

(4) 15