三角形ABCにおいて、AB=7, BC=13, CA=8とする。∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。 (1) ∠BACと三角形ABCの面積を求める。 (2) 三角形ABCの面積が、三角形ABDの面積と三角形ACDの面積の和に等しいことを利用して、ADの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, BC=13, CA=8とする。∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。

(1) ∠BACと三角形ABCの面積を求める。

(2) 三角形ABCの面積が、三角形ABDの面積と三角形ACDの面積の和に等しいことを利用して、ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理を用いて∠BACを求める。

$cos∠BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 * AB * AC} = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 * 7 * 8} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$

$∠BAC = 120°$

三角形の面積を求める。ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{7 + 13 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$面積 = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{14(14-7)(14-13)(14-8)} = \sqrt{14 * 7 * 1 * 6} = \sqrt{2 * 7 * 7 * 1 * 2 * 3} = \sqrt{2^2 * 7^2 * 3} = 2 * 7 * \sqrt{3} = 14\sqrt{3}$

(2)

角の二等分線の定理より、BD:DC = AB:AC = 7:8

$BD = \frac{7}{7+8} BC = \frac{7}{15} * 13 = \frac{91}{15}$

$CD = \frac{8}{7+8} BC = \frac{8}{15} * 13 = \frac{104}{15}$

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$

$\frac{1}{2} * AB * AC * sin∠BAC = \frac{1}{2} * AB * AD * sin∠BAD + \frac{1}{2} * AC * AD * sin∠CAD$

$AB * AC * sin∠BAC = AB * AD * sin∠BAD + AC * AD * sin∠CAD$

$7 * 8 * sin120° = 7 * AD * sin60° + 8 * AD * sin60°$

$56 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 * AD * \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 * AD * \frac{\sqrt{3}}{2}$

$56 = 7AD + 8AD$

$56 = 15AD$

$AD = \frac{56}{15}$

3. 最終的な答え

∠BAC = 120°

三角形ABCの面積 = $14\sqrt{3}$

AD = $\frac{56}{15}$