$\angle BAD = \angle CAD = \alpha$とし、点B, 点Cから直線ADに下ろした垂線と直線ADとの交点をそれぞれ$H_1, H_2$とする。$BH_1 = 7 \times $ (ナ), $CH_2 = 8 \times $ (ニ) であり、$\triangle BDH_1 \sim \triangle CDH_2$より$BD:CD = BH_1:CH_2$である。よって、$BD:DC = 7:8$であることを示す。(ナ)と(ニ)に当てはまるものを選択肢から選ぶ。選択肢は、(0) $\sin \alpha$, (1) $\cos \alpha$, (2) $\tan \alpha$である。

1. 問題の内容

$\angle BAD = \angle CAD = \alpha$とし、点B, 点Cから直線ADに下ろした垂線と直線ADとの交点をそれぞれ$H_1, H_2$とする。$BH_1 = 7 \times$ (ナ), $CH_2 = 8 \times$ (ニ) であり、$\triangle BDH_1 \sim \triangle CDH_2$より$BD:CD = BH_1:CH_2$である。よって、$BD:DC = 7:8$であることを示す。(ナ)と(ニ)に当てはまるものを選択肢から選ぶ。選択肢は、(0) $\sin \alpha$, (1) $\cos \alpha$, (2) $\tan \alpha$である。

2. 解き方の手順

$\triangle BDH_1$において、$\angle BDH_1 = 90^\circ$である。

したがって、

$BH_1 = BD \sin \angle BDH$という関係は成立しない。

同様に、$CH_2 = CD \sin \angle CDH$という関係は成立しない。

$\sin \alpha = \frac{BH_1}{AB}$

$\cos \alpha$はここでは使えない。

$\tan \alpha = \frac{BH_1}{AH_1}$

また、$\triangle BDH_1$において、$BH_1 = BD \sin \angle BDA$であり、$\triangle CDH_2$において、$CH_2 = CD \sin \angle CDA$である。

$\angle BAD = \angle CAD = \alpha$より、$BH_1 = 7 \times$(ナ)、$CH_2 = 8 \times$(ニ)の関係から、

$BH_1 = AB \sin \alpha$であり、$CH_2 = AC \sin \alpha$である。

よって、(ナ)と(ニ)は$\sin \alpha$である。

3. 最終的な答え

ナ = $\sin \alpha$

ニ = $\sin \alpha$