直角三角形の敷地内に長方形の花壇を作る。敷地の2辺の長さは4mと8mで、直角を挟む。長方形の花壇の面積を最大化する問題。$PQ = x$ としたとき、以下の問いに答える。 (i) $x$ のとり得る値の範囲を求める。 (ii) $x=2$ のときの花壇の面積 $T$ を求める。 (iii) $PR$ を $x$ で表し、$T$ を $x$ の関数で表す。 (iv) $T$ が最大となる $x$ の値と、そのときの $T$ の値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形の敷地内に長方形の花壇を作る。敷地の2辺の長さは4mと8mで、直角を挟む。長方形の花壇の面積を最大化する問題。$PQ = x$ としたとき、以下の問いに答える。

(i) $x$ のとり得る値の範囲を求める。

(ii) $x=2$ のときの花壇の面積 $T$ を求める。

(iii) $PR$ を $x$ で表し、$T$ を $x$ の関数で表す。

(iv) $T$ が最大となる $x$ の値と、そのときの $T$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(i) $\triangle ABC$ と $\triangle PBR$ は相似である。したがって、$PR:PB = AC:AB$ が成り立つ。

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

$PR:PB = 4:4\sqrt{5} = 1:\sqrt{5}$

$PR = \frac{PB}{\sqrt{5}}$

また、$PB = AB - AP = 4\sqrt{5} - AP$.

$AP = \sqrt{x^2 + PR^2}$ より、$PR$ を $AP$ で表すのは難しい。

$CR \le CD$ であり、$CD=BC-BD = 8-2=6$ だから $AR = AC - CR = 4-CR \ge 4-6=-2$.

$CR = AQ$ であり、$\triangle PBR$ と $\triangle ABC$ が相似であることから、$PR : x = 4:8 = 1:2$ より $x=2PR$. よって、$AQ = CR = 4 - AR$.

$\triangle ABC$ ∽ $\triangle PBR$ より、$x: PR = BC:AC = 8:4 = 2:1$. よって、$PR = \frac{1}{2} x$.

$AR = 4-CR$ であり、$CR =CD = 6$のとき、$AR = 4-6 = -2$.

$\triangle APQ$ で、$AP = \sqrt{AQ^2 + PQ^2} = \sqrt{AQ^2 + x^2}$.

ここで、$AR \ge 0$, $CR = 4- AR \le 6$。一方、$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AB}$. よって、$\frac{x}{8}=\frac{AP}{4\sqrt{5}}$. つまり $AP = \frac{\sqrt{5}x}{2}$.

$PQ=x, PR = \frac{1}{2}x$

$\triangle PBR \sim \triangle ABC$ だから、$\frac{PQ}{AC}=\frac{PB}{AB}$. つまり、$\frac{x}{4}=\frac{PB}{4\sqrt{5}}$

$\frac{PR}{BC}=\frac{AP}{AB}$. つまり、$\frac{PR}{8}=\frac{AP}{4\sqrt{5}}$. 従って、$PR=\frac{2AP}{\sqrt{5}}$

$PR+RD = PB$. $\triangle PBR \sim \triangle ABC$から、$PB/AB = PR/BC$.

$BC=8$ より、$CD=6$。$AQ=4-x$ とすると、$AR = AC - CQ$。$CR = AQ = CR=CD = 6$。

$x:4 = (8-PR):8$ より、$PR = 8-\frac{8}{4}x = 8-2x$.

花壇が校舎からはみ出さない条件は $CR \le CD = 6$ である。$PR = \frac{1}{2}x$ であるから、$AQ=x=4$のとき、$AR = 0$, つまり $x<4$ なので $0 < x \le 4$. (ア = 4)

(ii) $x=2$ のとき、$PR = \frac{1}{2} (2) = 1$. よって、$T = x \cdot PR = 2 \cdot 1 = 2$. (イ = 2)

(iii) $\triangle PBR \sim \triangle ABC$ より、$PR = \frac{1}{2}x$ である。（ウ = 0, エ = 2)

$T = x \cdot PR = x (\frac{8-2x}{1}）= 4x-\frac{1}{2} x^2$.

$T = -\frac{1}{2}x^2 + 4x$ (オカ = -1, キ = 2, ク = 4)

(iv) $T = -\frac{1}{2} x^2 + 4x = -\frac{1}{2} (x^2 - 8x) = -\frac{1}{2} (x^2 - 8x + 16 - 16) = -\frac{1}{2} (x-4)^2 + 8$.

$x=4$ のとき、$T=8$ となる。(ケ = 4, コ = 8)

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 2

ウ = 0, エ = 2

オカ = -1, キ = 2, ク = 4

ケ = 4, コ = 8