一辺の長さが6cmの立方体がある。この立方体の各面の対角線の交点を頂点とする正八面体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが6cmの立方体がある。この立方体の各面の対角線の交点を頂点とする正八面体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

正八面体は、2つの合同な正四角錐を底面で貼り合わせた形をしている。立方体の各面の対角線の交点を頂点とする正八面体の頂点は、立方体の各面の中心に位置する。

正八面体の底面は正方形で、その正方形の一辺の長さは、立方体の一辺の半分である。したがって、正八面体の底面の正方形の一辺の長さは $6/2 = 3$ cmである。

正八面体の高さは、立方体の一辺の半分である。したがって、正八面体の高さは $6/2 = 3$ cmである。

正四角錐の体積は、$1/3 \times$ 底面積 $\times$ 高さで求められる。正八面体は2つの合同な正四角錐を貼り合わせたものなので、その体積は、$2 \times 1/3 \times$ 底面積 $\times$ 高さで求められる。

底面積は、$3 \times 3 = 9$ cm$^2$である。高さは3 cmである。したがって、正八面体の体積は、

$2 \times \frac{1}{3} \times 9 \times 3 = 18$ cm$^3$ である。

3. 最終的な答え

18 cm$^3$