△ABCにおいて、$AB = 4$, $BC = 2\sqrt{5}$, $\angle ABC = 90^\circ$である。 円Oは点Bを通り、中心が半直線BC上にある。 (1) 円Oが直線ACに接するとき、△ABCのある点が直線AO上にある。BO:OCの比と、円Oの半径を求める。 (2) 円Oが直線ACと異なる2点で交わり、Aに近い点をP、もう一方をQとし、$AP=2$とする。AQの長さを求める。点Cが円Oの内部にあるか外部にあるかを判定し、円Oと直線BCとの交点のうちBと異なる点をDとしてCDの長さを求める。円Oの半径を求める。 (3) (1)の場合の点Oを$O_1$、(2)の場合の点Oを$O_2$とし、点P, Qを(2)と同様にとる。円$O_1$の周上に点Xをとり、△XACを作る。△XACの面積の最大値を求め、円$O_2$の周上に点Yをとり、△YPQを作る。△YPQの面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

△ABCにおいて、$AB = 4$, $BC = 2\sqrt{5}$, $\angle ABC = 90^\circ$である。

円Oは点Bを通り、中心が半直線BC上にある。

(1) 円Oが直線ACに接するとき、△ABCのある点が直線AO上にある。BO:OCの比と、円Oの半径を求める。

(2) 円Oが直線ACと異なる2点で交わり、Aに近い点をP、もう一方をQとし、$AP=2$とする。AQの長さを求める。点Cが円Oの内部にあるか外部にあるかを判定し、円Oと直線BCとの交点のうちBと異なる点をDとしてCDの長さを求める。円Oの半径を求める。

(3) (1)の場合の点Oを$O_1$、(2)の場合の点Oを$O_2$とし、点P, Qを(2)と同様にとる。円$O_1$の周上に点Xをとり、△XACを作る。△XACの面積の最大値を求め、円$O_2$の周上に点Yをとり、△YPQを作る。△YPQの面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ACの長さを求める。三平方の定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$

よって、$AC = \sqrt{36} = 6$

このとき、△ABCは直角三角形であり、円OがACに接するとき、△ABCの外心は直線AO上にある。

円Oの中心をOとすると、BOは円の半径なので、OB=rとおく。

また、OC = xとおくと、BC = $2\sqrt{5}$より、x = $2\sqrt{5}$-r

BO:OC = r : x = r : ($2\sqrt{5}$-r)

△ABCの外心をEとする。Eは斜辺ACの中点なので、AE = EC = 3。また、AE=BE=CEであり、△ABCの外接円の半径は3である。

△ABCの外心は、AO上にあるので、円OはACに接するとき、内心がAO上にある。

次に、△ABCの内接円の半径を求める。

内接円の半径をrとすると、

$\frac{1}{2} \cdot r \cdot (4 + 2\sqrt{5} + 6) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5}$

$r(10 + 2\sqrt{5}) = 8\sqrt{5}$

$r = \frac{8\sqrt{5}}{10 + 2\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}(5 - \sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})} = \frac{20\sqrt{5} - 20}{25-5} = \frac{20(\sqrt{5} - 1)}{20} = \sqrt{5} - 1$

円Oの中心がBから$2\sqrt{5}$離れた位置にあるとき、OがACに接する。

△OACは二等辺三角形になるので、OからACにおろした垂線は、ACを二等分する。

OCの長さを求めると、$OC = |2\sqrt{5} - OB| = |2\sqrt{5}-r|$

直角三角形OAHにおいて(HはAC上の垂線の足), $OA^2 = AH^2 + OH^2 = 3^2 + r^2$.

したがって、$OA = \sqrt{9 + r^2}$.

△AOCにおいて余弦定理を用いると、

$AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 AO \cdot OC \cos(\angle AOC)$.

BO:OC = 1:1なので、$OB = OC$.

$OB = r$, $OC = 2\sqrt{5} - r$.

$r = 2\sqrt{5} - r$

$2r = 2\sqrt{5}$

$r = \sqrt{5}$

(2)

方べきの定理より、$AP \cdot AQ = AB^2$

$2 \cdot AQ = 4^2 = 16$

$AQ = 8$

$AC = 6$であり、$AP = 2$なので、$CP = AC - AP = 6 - 2 = 4$

$AQ = 8$なので、$CQ = AQ - AC = 8 - 6 = 2$

$CP \cdot CQ = 4 \cdot 2 = 8$.

$OB^2 = CD \cdot BC$

3. 最終的な答え

ア：6

イ：外心

ウ：1

エ：1

オ：ルート５

カ：

キ：

ク：8

ケ：外部

コ：

サ：

シ：

タチ：

ツ：

テ：

トナ：

ニ：

ヌ：