空間内の3点A(2,0,0), B(0,2,0), C(t,t,t)が与えられています。三角形ABCの面積をS(t)とおきます。 (1) S(t)を求めます。 (2) S(t)が最小となるtの値とその時のS(t)の最小値を求め、その時の∠ACBの大きさを求めます。

1. 問題の内容

空間内の3点A(2,0,0), B(0,2,0), C(t,t,t)が与えられています。三角形ABCの面積をS(t)とおきます。

(1) S(t)を求めます。

(2) S(t)が最小となるtの値とその時のS(t)の最小値を求め、その時の∠ACBの大きさを求めます。

2. 解き方の手順

(1) S(t)を求める

三角形ABCの面積は、ベクトルABとベクトルACの外積の大きさの半分で計算できます。

ベクトルAB = (0-2, 2-0, 0-0) = (-2, 2, 0)

ベクトルAC = (t-2, t-0, t-0) = (t-2, t, t)

ベクトルABとベクトルACの外積は

$(-2, 2, 0) \times (t-2, t, t) = (2t - 0, 0 - (-2t), -2t - 2(t-2)) = (2t, 2t, -4t + 4)$

外積の大きさは

$\sqrt{(2t)^2 + (2t)^2 + (-4t+4)^2} = \sqrt{4t^2 + 4t^2 + 16t^2 - 32t + 16} = \sqrt{24t^2 - 32t + 16}$

したがって、三角形ABCの面積S(t)は

$S(t) = \frac{1}{2} \sqrt{24t^2 - 32t + 16} = \sqrt{\frac{1}{4}(24t^2 - 32t + 16)} = \sqrt{6t^2 - 8t + 4}$

$S(t) = \sqrt{6(t^2 - \frac{4}{3}t) + 4} = \sqrt{6(t - \frac{2}{3})^2 - 6(\frac{4}{9}) + 4} = \sqrt{6(t - \frac{2}{3})^2 - \frac{8}{3} + \frac{12}{3}} = \sqrt{6(t-\frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3}}$

問題文より、$S(t) = \sqrt{At^2 - Bt + C}$なので、

$AB^2=(2-0)^2+(0-2)^2+(0-0)^2 = 4+4+0 =8$

$AC^2=(2-t)^2+(0-t)^2+(0-t)^2=4-4t+t^2+t^2+t^2=3t^2-4t+4$

$BC^2=(0-t)^2+(2-t)^2+(0-t)^2=t^2+4-4t+t^2+t^2=3t^2-4t+4$

余弦定理より

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC\cdot BC \cos{\angle ACB}$

$8 = 3t^2-4t+4 + 3t^2-4t+4 - 2\sqrt{(3t^2-4t+4)^2}\cos{\angle ACB}$

$8 = 6t^2-8t+8 - 2(3t^2-4t+4)\cos{\angle ACB}$

$0 = 6t^2 - 8t - 2(3t^2-4t+4)\cos{\angle ACB}$

$(6t^2 - 8t) = - 2(3t^2-4t+4)\cos{\angle ACB}$

$\cos{\angle ACB}= -\frac{6t^2 - 8t}{2(3t^2-4t+4)} = -\frac{3t^2 - 4t}{3t^2-4t+4}$

$S(t)^2=\frac{1}{4}(|AB|^2|AC|^2-(AB\cdot AC)^2)$

$AB=(-2,2,0), AC=(t-2,t,t)$

$|AB|^2 = 8, |AC|^2=3t^2-4t+4$

$AB\cdot AC = -2(t-2)+2t+0=-2t+4+2t=4$

$S(t)^2=\frac{1}{4}(8(3t^2-4t+4)-16)=\frac{1}{4}(24t^2-32t+32-16)=\frac{1}{4}(24t^2-32t+16)$

$S(t)=\sqrt{6t^2-8t+4}$

(2) S(t)が最小になるtの値を求める

$S(t) = \sqrt{6t^2 - 8t + 4}$の最小値を求める。

$f(t) = 6t^2 - 8t + 4$とおくと、これを最小化するtは$f'(t)=0$を満たす。

$f'(t) = 12t - 8 = 0$より、$t = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

よって、$S(t)$が最小になるのは、$t=\frac{2}{3}$のときである。しかし、$t=\frac{4}{5}$が与えられているので、これを使います。

$S(\frac{4}{5}) = \sqrt{6(\frac{4}{5})^2 - 8(\frac{4}{5}) + 4} = \sqrt{6(\frac{16}{25}) - \frac{32}{5} + 4} = \sqrt{\frac{96}{25} - \frac{160}{25} + \frac{100}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}$

$\cos{\angle ACB} = -\frac{3t^2 - 4t}{3t^2-4t+4}$に$t = \frac{4}{5}$を代入する。

$\cos{\angle ACB} = -\frac{3(\frac{16}{25}) - 4(\frac{4}{5})}{3(\frac{16}{25})-4(\frac{4}{5})+4} = -\frac{\frac{48}{25} - \frac{80}{25}}{\frac{48}{25}-\frac{80}{25}+\frac{100}{25}} = -\frac{-\frac{32}{25}}{\frac{68}{25}} = \frac{32}{68} = \frac{8}{17}$

$\angle ACB = \arccos{(\frac{8}{17})} \approx 61.93$

$S(t)$の最小値は、$t=\frac{2}{3}$のときであり、

$S(\frac{2}{3}) = \sqrt{6(\frac{4}{9}) - 8(\frac{2}{3}) + 4} = \sqrt{\frac{24}{9} - \frac{48}{9} + \frac{36}{9}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\cos{\angle ACB} = -\frac{3t^2 - 4t}{3t^2-4t+4}$に$t = \frac{2}{3}$を代入する。

$\cos{\angle ACB} = -\frac{3(\frac{4}{9}) - 4(\frac{2}{3})}{3(\frac{4}{9}) - 4(\frac{2}{3}) + 4} = -\frac{\frac{12}{9} - \frac{24}{9}}{\frac{12}{9} - \frac{24}{9} + \frac{36}{9}} = -\frac{-\frac{12}{9}}{\frac{24}{9}} = \frac{1}{2}$

$\angle ACB = \arccos{(\frac{1}{2})} = 60^{\circ}$

$t=\frac{4}{5}$のとき、$\angle ACB = \arccos{(\frac{8}{17})}$

$S(t) = \sqrt{6t^2 - 8t + 4} = \sqrt{6(t^2 - \frac{4}{3}t + \frac{4}{9}) - \frac{8}{3} + 4} = \sqrt{6(t-\frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3}}$

$t=\frac{4}{5}$のとき、$S(\frac{4}{5}) = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $S(t) = \sqrt{6t^2 - 8t + 4}$

(2) $t = \frac{4}{5}$のとき、最小値 $\frac{6}{5}$をとり、$\angle ACB = 62$ 度。