空間内に3点 A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(t, t, t) が与えられている。三角形ABCの面積をS(t)とおく。 (1) S(t) を求めよ。 (2) S(t) が最小となるときの t の値と、そのときの S(t) の最小値を求め、さらに、そのときの∠ACBを求めよ。

1. 問題の内容

空間内に3点 A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(t, t, t) が与えられている。三角形ABCの面積をS(t)とおく。

(1) S(t) を求めよ。

(2) S(t) が最小となるときの t の値と、そのときの S(t) の最小値を求め、さらに、そのときの∠ACBを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) S(t) を求める。

ベクトル$\vec{CA} = (2-t, -t, -t)$, $\vec{CB} = (-t, 2-t, -t)$とおくと、

$S(t) = \frac{1}{2} |\vec{CA} \times \vec{CB}|$

$\vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{pmatrix} 2-t \\ -t \\ -t \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -t \\ 2-t \\ -t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-t)(-t) - (-t)(2-t) \\ (-t)(-t) - (2-t)(-t) \\ (2-t)(2-t) - (-t)(-t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^2 + 2t - t^2 \\ t^2 + 2t - t^2 \\ 4 - 4t + t^2 - t^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t \\ 2t \\ 4 - 4t \end{pmatrix}$

$|\vec{CA} \times \vec{CB}| = \sqrt{(2t)^2 + (2t)^2 + (4-4t)^2} = \sqrt{4t^2 + 4t^2 + 16 - 32t + 16t^2} = \sqrt{24t^2 - 32t + 16} = \sqrt{8(3t^2 - 4t + 2)}$

よって、

$S(t) = \frac{1}{2} \sqrt{8(3t^2 - 4t + 2)} = \sqrt{2(3t^2 - 4t + 2)} = \sqrt{6t^2 - 8t + 4}$

$S(t) = \sqrt{6(t^2 - \frac{4}{3}t) + 4} = \sqrt{6(t - \frac{2}{3})^2 - 6(\frac{4}{9}) + 4} = \sqrt{6(t - \frac{2}{3})^2 - \frac{8}{3} + \frac{12}{3}} = \sqrt{6(t - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3}}$

(2) S(t) が最小になるのは $t = \frac{2}{3}$ のとき。

最小値は $\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

問題文にある$t = \frac{4}{5}$の時

$S(t) = \sqrt{6(\frac{4}{5})^2 - 8(\frac{4}{5}) + 4} = \sqrt{6(\frac{16}{25}) - \frac{32}{5} + 4} = \sqrt{\frac{96}{25} - \frac{160}{25} + \frac{100}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}$

次に、$\angle ACB$ を求める。

$\cos{\angle ACB} = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}||\vec{CB}|}$

$\vec{CA} = (2-t, -t, -t) = (\frac{6}{5}, -\frac{4}{5}, -\frac{4}{5})$

$\vec{CB} = (-t, 2-t, -t) = (-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}, -\frac{4}{5})$

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (\frac{6}{5})(-\frac{4}{5}) + (-\frac{4}{5})(\frac{6}{5}) + (-\frac{4}{5})(-\frac{4}{5}) = -\frac{24}{25} - \frac{24}{25} + \frac{16}{25} = -\frac{32}{25}$

$|\vec{CA}| = \sqrt{(\frac{6}{5})^2 + (-\frac{4}{5})^2 + (-\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{16}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{68}{25}} = \frac{2\sqrt{17}}{5}$

$|\vec{CB}| = \sqrt{(-\frac{4}{5})^2 + (\frac{6}{5})^2 + (-\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{36}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{68}{25}} = \frac{2\sqrt{17}}{5}$

$\cos{\angle ACB} = \frac{-\frac{32}{25}}{\frac{2\sqrt{17}}{5} \frac{2\sqrt{17}}{5}} = \frac{-\frac{32}{25}}{\frac{4(17)}{25}} = \frac{-32}{68} = -\frac{8}{17}$

$\angle ACB = \arccos(-\frac{8}{17}) \approx 118.1^\circ$

1. S(t) = $\sqrt{6t^2 - 8t + 4}$

2. t = 4/5 のとき最小値 6/5 をとる

3. $\angle ACB$ = 約 118 度

最終的な答え

1: 6, 2, 4, 3

2: 4/5, 6, sqrt(7), 5, 8

3: 118