一辺の長さが10の正四面体ABCDにおいて、辺CDを2:3に内分する点をEとする。点Eから辺ABに下ろした垂線をEHとする。AE, AH, EHの値を求める問題。

1. 問題の内容

一辺の長さが10の正四面体ABCDにおいて、辺CDを2:3に内分する点をEとする。点Eから辺ABに下ろした垂線をEHとする。AE, AH, EHの値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、AEの長さを求める。正四面体ABCDにおいて、△ACDは正三角形である。点Eは辺CDを2:3に内分する点なので、CE = $10 \times \frac{2}{5} = 4$ である。△ACEにおいて余弦定理を用いると、

$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \times AC \times CE \times \cos{60^\circ}$

$AE^2 = 10^2 + 4^2 - 2 \times 10 \times 4 \times \frac{1}{2} = 100 + 16 - 40 = 76$

$AE = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$

次に、AHの長さを求める。△ABEにおいて、EHはABに対する垂線である。△ABEの面積を考える。

まず、ヘロンの公式を使って△ABEの面積を計算する。s = $\frac{10 + 2\sqrt{19} + 2\sqrt{19}}{2} = 5 + 2\sqrt{19}$.

面積 = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(5+2\sqrt{19})(5+2\sqrt{19}-10)(5+2\sqrt{19}-2\sqrt{19})(5+2\sqrt{19}-2\sqrt{19})} = \sqrt{(5+2\sqrt{19})(-5+2\sqrt{19})(5)(5)} = 5 \sqrt{(2\sqrt{19})^2 - 5^2} = 5 \sqrt{76-25} = 5\sqrt{51}$

一方、面積 = $\frac{1}{2} \times AB \times EH = \frac{1}{2} \times 10 \times EH = 5EH$

△ABEの面積 = $5\sqrt{51}$

$EH = \frac{2}{5}$

また、△AEHにおいて、AHの長さを考える。

$AE^2 = AH^2 + EH^2$

$EH^2 = AE^2 - AH^2$

ここで、△ABEの面積を求める。

$\frac{1}{2}AB \times EH = 5EH$

$\cos{\angle EAH} = \frac{AH}{AE}$

EHはABに対する垂線であることから、HはAB上にある。

△AEHは直角三角形だから、$AE^2 = AH^2 + EH^2$

$EH^2 = AE^2 - AH^2$

$EH = \sqrt{AE^2 - AH^2} = \sqrt{76 - AH^2}$

AH = 5

△ABEの面積を2通りで考える。

$5 \sqrt{51} = \frac{1}{2} \times AB \times EH = 5EH$

$EH = \sqrt{51}$

$AE^2 = AH^2 + EH^2$

$76 = AH^2 + 51$

$AH^2 = 25$

$AH = 5$

$EH = \sqrt{51}$

3. 最終的な答え

$AE = 2\sqrt{19}$, $AH = 5$ より $EH = \sqrt{51}$