円 $O: x^2 + y^2 = 4$ と点 $P(0, -1)$ が与えられている。 (1) 円 $O$ 上を動く点 $A$ に対して、点 $P$ が線分 $QA$ を $1:2$ に内分するような点 $Q$ はある円周上を動くことを示し、その円の中心と半径を求めよ。 (2) 円 $O$ に内接する $\triangle ABC$ の重心が点 $P$ であるとする。点 $A$ の座標が $(2, 0)$ であるとき、直線 $BC$ の方程式を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

円 $O: x^2 + y^2 = 4$ と点 $P(0, -1)$ が与えられている。

(1) 円 $O$ 上を動く点 $A$ に対して、点 $P$ が線分 $QA$ を $1:2$ に内分するような点 $Q$ はある円周上を動くことを示し、その円の中心と半径を求めよ。

(2) 円 $O$ に内接する $\triangle ABC$ の重心が点 $P$ であるとする。点 $A$ の座標が $(2, 0)$ であるとき、直線 $BC$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A$ の座標を $(x_A, y_A)$、点 $Q$ の座標を $(x_Q, y_Q)$ とする。

$P$ が $QA$ を $1:2$ に内分するので、

$x_P = \frac{2x_A + x_Q}{3}, y_P = \frac{2y_A + y_Q}{3}$

$x_Q = 3x_P - 2x_A, y_Q = 3y_P - 2y_A$

$x_P = 0, y_P = -1$ であるから、

$x_Q = -2x_A, y_Q = -3 - 2y_A$

$x_A = -\frac{x_Q}{2}, y_A = -\frac{y_Q + 3}{2}$

$A$ は円 $O$ 上の点であるから、$x_A^2 + y_A^2 = 4$ を満たす。

$(-\frac{x_Q}{2})^2 + (-\frac{y_Q + 3}{2})^2 = 4$

$\frac{x_Q^2}{4} + \frac{(y_Q + 3)^2}{4} = 4$

$x_Q^2 + (y_Q + 3)^2 = 16$

これは、中心 $(0, -3)$、半径 $4$ の円を表す。

したがって、点 $Q$ は中心 $(0, -3)$、半径 $4$ の円周上を動く。

(2) $\triangle ABC$ の重心を $G$ とすると、重心 $G$ の座標は

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

$G=P$より、$x_P = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, y_P = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

$0 = \frac{2 + x_B + x_C}{3}, -1 = \frac{0 + y_B + y_C}{3}$

$x_B + x_C = -2, y_B + y_C = -3$

$BC$ の中点を $M$ とすると、$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = -1, y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = -\frac{3}{2}$

したがって、$M(-1, -\frac{3}{2})$

$BC$ の傾きを $m$ とすると、$BC$ の方程式は

$y - (-\frac{3}{2}) = m(x - (-1))$

$y + \frac{3}{2} = m(x + 1)$

$2y + 3 = 2m(x + 1)$

$2mx - 2y + 2m - 3 = 0$

円 $O$ の中心 $(0, 0)$ と直線 $BC$ の距離は、円の半径 $2$ に等しいので、

$\frac{|2m(0) - 2(0) + 2m - 3|}{\sqrt{(2m)^2 + (-2)^2}} = 2$

$\frac{|2m - 3|}{\sqrt{4m^2 + 4}} = 2$

$|2m - 3| = 2\sqrt{4m^2 + 4}$

$(2m - 3)^2 = 4(4m^2 + 4)$

$4m^2 - 12m + 9 = 16m^2 + 16$

$12m^2 + 12m + 7 = 0$

この$m$は実数解を持たない。

$AO$の傾きは

0. $BC$の中点 $M(-1, -3/2)$. $AM$が直交することはない。

BCがx軸と平行ならば$y=-3/2$.

$A=(2,0)$とおくと、

$x_A+x_B+x_C=0$

$y_A+y_B+y_C=-3$

より、$x_B+x_C=-2, y_B+y_C=-3$

$BC$の方程式を$ax+by+c=0$と置く。

円$x^2+y^2=4$に接するので、原点から$ax+by+c=0$の距離が2になる。

$\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$

$BC$の中点は$M=(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2})=(-1, -\frac{3}{2})$

$OA$の傾きは0なので、$BC$の傾きは存在しない。

$BC$はx軸に垂直なので、$x=k$とおける。

$A=(2,0)$なので、$BC$の式は$x=-1$

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(0, -3)$、半径 $4$

(2) $x = -1$