(1) 図の三角形において、与えられた角度 $105^\circ$ と $42^\circ$ から、角度 $x$ を求める。 (2) 平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4$ cm, $BC=7$ cm、$AG = \frac{4}{3}$ cmが与えられている。線分BE, EFの長さを求め、さらに、△CGHの面積が△FBCの面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

(1) 図の三角形において、与えられた角度 $105^\circ$ と $42^\circ$ から、角度 $x$ を求める。

(2) 平行四辺形ABCDにおいて、$AB=4$ cm, $BC=7$ cm、$AG = \frac{4}{3}$ cmが与えられている。線分BE, EFの長さを求め、さらに、△CGHの面積が△FBCの面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$105^\circ + 42^\circ + x = 180^\circ$

$147^\circ + x = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 147^\circ$

$x = 33^\circ$

(2)

① 平行四辺形ABCDにおいて、$AD = BC = 7$ cm、$AB = CD = 4$ cmである。

∠ABCの二等分線とADの交点がEであるから、∠ABE = ∠EBCである。

また、ADとBCは平行であるから、∠AEB = ∠EBCである。

よって、∠ABE = ∠AEBとなるので、△ABEは二等辺三角形である。

したがって、$BE = AB = 4$ cmである。

② BF = CFとなる点Fを線分BE上にとり、Fを通りCEに平行な直線とBA, ADとの交点をそれぞれG, Hとする。AG = $\frac{4}{3}$ cmである。

まず、△GBFと△EFCにおいて、BF=CF、∠GBF=∠CEF（平行線の同位角）、∠BFG=∠CFE(対頂角)であるから、△GBF≡△ECFである。よって、GF=EFである。

ここで、△GBFと△AEHにおいて、∠GBF=∠AEH、∠GFB=∠EHAであるから、△GBF∽△AEHである。また、∠AGH=∠GHEより、△AGHは二等辺三角形となる。

BG=AG-AB=$\frac{4}{3}$-4=$\frac{4-12}{3}$=-$\frac{8}{3}$　となるので、これは誤り。

AG=4/3より、△ABG∽△AEHである。AB=BE=4よりAE=BEである。

FG//ECより、△BFG∽△BECであり、△AHG∽△DECである。

ここで、AG=4/3であり、AB=4であるから、BG=4-4/3=8/3である。

BF=CFである。$\frac{BF}{BE}=\frac{BG}{BA}$であるから、$\frac{BF}{4}=\frac{8/3}{4}$である。

$BF=4*\frac{8/3}{4}=\frac{8}{3}$である。

$EF=BE-BF=4-\frac{8}{3}=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}$

③

3. 最終的な答え

(1) $x = 33^\circ$

(2)

① $BE = 4$ cm

② $EF = \frac{4}{3}$ cm

③ 倍