問題は2つのパートに分かれています。 (1) 図1において、AB = 12cm, CはABの中点であるとき、影をつけた部分の面積と周の長さを求めます。 (2) 図2において、ABを直径とする半円の弧上に点P、BCを直径とする半円の弧上に点Qをとります。 ① ∠PBC = 65°のとき、影をつけた部分の面積を求めます。 ② ∠PCQ = 90°のとき、弧QBと弧BPの長さの和を求めます。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

(1) 図1において、AB = 12cm, CはABの中点であるとき、影をつけた部分の面積と周の長さを求めます。

(2) 図2において、ABを直径とする半円の弧上に点P、BCを直径とする半円の弧上に点Qをとります。

① ∠PBC = 65°のとき、影をつけた部分の面積を求めます。

② ∠PCQ = 90°のとき、弧QBと弧BPの長さの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

① 影をつけた部分の面積は、直径ABの半円の面積から、直径ACと直径BCの半円の面積を引いたものです。

AB = 12cmなので、AC = BC = 6cmです。

直径ABの半円の面積は $\frac{1}{2} \pi (6)^2 = 18\pi$。

直径ACの半円の面積は $\frac{1}{2} \pi (3)^2 = \frac{9}{2}\pi$。

直径BCの半円の面積は $\frac{1}{2} \pi (3)^2 = \frac{9}{2}\pi$。

したがって、影をつけた部分の面積は $18\pi - \frac{9}{2}\pi - \frac{9}{2}\pi = 9\pi$ です。

② 影をつけた部分の周の長さは、直径ABの半円の弧の長さ、直径ACの半円の弧の長さ、直径BCの半円の弧の長さの合計です。

直径ABの半円の弧の長さは $\frac{1}{2} \times 2\pi \times 6 = 6\pi$。

直径ACの半円の弧の長さは $\frac{1}{2} \times 2\pi \times 3 = 3\pi$。

直径BCの半円の弧の長さは $\frac{1}{2} \times 2\pi \times 3 = 3\pi$。

したがって、影をつけた部分の周の長さは $6\pi + 3\pi + 3\pi = 12\pi$ です。

(2)

① ∠PBC = 65°のとき、影をつけた部分の面積を求めます。

∠ABC = 90°であるから、∠ABP = 90°-65°=25°

影をつけた部分は半円から扇形と三角形を引けば良い。

扇形の面積は$\pi(6)^2\times\frac{25}{180}=\frac{5\pi}{2}$

三角形の面積は$\frac{1}{2}(6)^2sin(25)=\frac{1}{2}36sin(25)=18sin(25)$

半円の面積は$\frac{1}{2}\pi(6)^2=18\pi$

影をつけた部分の面積は$18\pi-\frac{5\pi}{2}-18sin(25)=\frac{31\pi}{2}-18sin(25)$

② ∠PCQ = 90°のとき、弧QBと弧BPの長さの和を求めます。

∠PCQ = 90°より、弧PQは中心角90°の弧である。

∠BCP + ∠BCQ = 90°

線分BCの長さは6cm. よって、弧BP + 弧QBの長さは半径3cm, 中心角90°の弧の長さである。

よって、$2\pi (3) \times \frac{90}{360} = 2\pi (3) \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\pi$です。

3. 最終的な答え

(1)

① 面積: $9\pi \text{ cm}^2$

② 周の長さ: $12\pi \text{ cm}$

(2)

① 面積: $\frac{31\pi}{2}-18sin(25) \text{ cm}^2$

② 弧QBと弧BPの長さの和: $\frac{3}{2}\pi \text{ cm}$