円と直線が図のように配置されているとき、$z$ の値を求める問題です。ただし、$z$ は線分 $AB$ の長さに対応し、$AD$ の長さは $3$ と与えられています。円の接線と割線の定理を利用して、$AB$ の長さを求めます。

1. 問題の内容

円と直線が図のように配置されているとき、$z$ の値を求める問題です。ただし、$z$ は線分 $AB$ の長さに対応し、$AD$ の長さは $3$ と与えられています。円の接線と割線の定理を利用して、$AB$ の長さを求めます。

2. 解き方の手順

円の外部の点 $A$ から円に引いた接線 $AD$ と割線 $ABC$ を考えます。接線と割線の定理より、以下の関係が成り立ちます。

$AD^2 = AB \cdot AC$

ここで、$AB = z$、$AD = 3$ であり、$AC = AB + BC = z + BC$ です。図から、$BC = 3 + 3 = 6$ と考えられます。したがって、$AC = z + 6$ となります。

上記の接線と割線の定理の式にこれらの値を代入すると、以下のようになります。

$3^2 = z(z + 6)$

$9 = z^2 + 6z$

$z^2 + 6z - 9 = 0$

この2次方程式を解くために、解の公式を用います。解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。今回は $a=1$, $b=6$, $c=-9$ なので、

$z = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}$

$z = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2}$

$z = \frac{-6 \pm \sqrt{72}}{2}$

$z = \frac{-6 \pm 6\sqrt{2}}{2}$

$z = -3 \pm 3\sqrt{2}$

$z$ は長さなので正の値を取ります。したがって、$z = -3 + 3\sqrt{2}$ となります。

$3\sqrt{2} - 3 \approx 3(1.414) - 3 \approx 4.242 - 3 \approx 1.242$ なので、図の $AD=3$ と比較しても不自然ではありません。

3. 最終的な答え

$z = 3\sqrt{2} - 3$