長方形ABCDがあり、$AB = 12$ cm, $AD = 20$ cmです。点PはCを出発し、毎秒1cmの速さでDを通ってAまで動きます。点PがCを出発してから$x$秒後の四角形ABCPの面積を$y$ cm$^2$とするとき、$12 \le x \le 32$のときの$y$を$x$の式で表してください。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB = 12$ cm, $AD = 20$ cmです。点PはCを出発し、毎秒1cmの速さでDを通ってAまで動きます。点PがCを出発してから$x$秒後の四角形ABCPの面積を$y$ cm$^2$とするとき、$12 \le x \le 32$のときの$y$を$x$の式で表してください。

2. 解き方の手順

$12 \le x \le 32$のとき、点Pは辺DA上にある。

$CD=20$ cmなので、$x$秒後の点Pの位置はDから$x-12$ cmの位置にある。

したがって、$DP = x-12$ cm。$AD=20$ cmなので、$AP=AD-DP=20-(x-12) = 32-x$ cm。

四角形ABCPの面積$y$は、長方形ABCDの面積から三角形APの面積を引いたものに等しい。

長方形ABCDの面積は$AB \times BC = 12 \times 20 = 240$ cm$^2$。

三角形ABPの面積は$\frac{1}{2} \times AB \times AP = \frac{1}{2} \times 12 \times (32-x) = 6(32-x) = 192 - 6x$ cm$^2$。

よって、$y = 240 - (192 - 6x) = 240 - 192 + 6x = 48 + 6x$。

3. 最終的な答え

$y = 6x + 48$