2つの直線 $y = \frac{1}{2}x + 9$ と $y = -2x + 4$ があります。直線①と②がx軸と交わる点をそれぞれA、Bとし、直線①と②の交点をCとします。以下の問いに答えてください。 1. 点Cの座標を求めなさい。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = \frac{1}{2}x + 9$ と $y = -2x + 4$ があります。直線①と②がx軸と交わる点をそれぞれA、Bとし、直線①と②の交点をCとします。以下の問いに答えてください。

1. 点Cの座標を求めなさい。

2. 三角形ABCの面積を求めなさい。

3. 点Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

4. 直線②とy軸との交点をDとするとき、四角形ODCAの面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

1. 点Cの座標を求める

点Cは2つの直線の交点なので、連立方程式を解くことで求められます。

$y = \frac{1}{2}x + 9$

$y = -2x + 4$

$\frac{1}{2}x + 9 = -2x + 4$

$\frac{5}{2}x = -5$

$x = -2$

$y = -2(-2) + 4 = 8$

したがって、点Cの座標は $(-2, 8)$ です。

2. 三角形ABCの面積を求める

まず、点Aと点Bの座標を求めます。

点Aは直線①とx軸との交点なので、y=0を代入すると

$0 = \frac{1}{2}x + 9$

$x = -18$

したがって、点Aの座標は $(-18, 0)$ です。

点Bは直線②とx軸との交点なので、y=0を代入すると

$0 = -2x + 4$

$x = 2$

したがって、点Bの座標は $(2, 0)$ です。

三角形ABCの面積は、底辺をABとすると、高さは点Cのy座標になります。

ABの長さは $|2 - (-18)| = 20$ です。

したがって、三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \times 20 \times 8 = 80$ です。

3. 点Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める

三角形ABCの面積を2等分する直線は、辺ABの中点を通ります。

ABの中点をMとすると、Mの座標は $(\frac{-18+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (-8, 0)$ です。

点C $(-2, 8)$ と点M $(-8, 0)$ を通る直線の式を求めます。

傾きは $\frac{8-0}{-2-(-8)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ です。

したがって、求める直線の式は $y = \frac{4}{3}(x + 8)$

$y = \frac{4}{3}x + \frac{32}{3}$

4. 四角形ODCAの面積を求める

点Dは直線②とy軸との交点なので、x=0を代入すると

$y = -2(0) + 4 = 4$

したがって、点Dの座標は $(0, 4)$ です。

四角形ODCAの面積は、三角形ODCと三角形OCAの面積の和で求められます。

三角形ODCの面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times |-2| = 4$ です。

三角形OCAの面積は、底辺をOAとすると、高さは点Cのy座標になります。

OAの長さは $|-18 - 0| = 18$ です。

したがって、三角形OCAの面積は $\frac{1}{2} \times 18 \times 8 = 72$ です。

よって、四角形ODCAの面積は $4 + 72 = 76$ です。

3. 最終的な答え

1. 点Cの座標: $(-2, 8)$

2. 三角形ABCの面積: $80$

3. 点Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式: $y = \frac{4}{3}x + \frac{32}{3}$

4. 四角形ODCAの面積: $76$