$x$軸上の点$(7, 0)$を通り、平行四辺形$OABC$の面積を2等分する直線$l$の式を求める問題です。ただし、$A(5, 7)$、$B(9, 5)$であり、$O$は原点$(0, 0)$です。

1. 問題の内容

$x$軸上の点$(7, 0)$を通り、平行四辺形$OABC$の面積を2等分する直線$l$の式を求める問題です。ただし、$A(5, 7)$、$B(9, 5)$であり、$O$は原点$(0, 0)$です。

2. 解き方の手順

平行四辺形の面積を2等分する直線は、平行四辺形の対角線の交点を通ります。

まず、点$C$の座標を求めます。平行四辺形の性質から、$\vec{OC} = \vec{BA}$なので、

$C = B + A - O - B = A - (B-O) = (5, 7) - (9, 5) = (-4, 2)$

したがって、$C(-4, 2)$です。

次に、平行四辺形$OABC$の対角線の交点$M$の座標を求めます。

$M$は$OA$の中点でもあり、$BC$の中点でもあります。

したがって、$M = \frac{A+C+O+B}{2} = \frac{A+C}{2}$.

$M = \frac{(5, 7) + (-4, 2)}{2} = \frac{(1, 9)}{2} = (\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$

直線$l$は、点$(7, 0)$と点$(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$を通ります。

直線の傾き$m$は、

$m = \frac{\frac{9}{2} - 0}{\frac{1}{2} - 7} = \frac{\frac{9}{2}}{-\frac{13}{2}} = -\frac{9}{13}$

直線$l$の式は、$y = m(x - 7)$なので、

$y = -\frac{9}{13}(x - 7)$

$y = -\frac{9}{13}x + \frac{63}{13}$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{9}{13}x + \frac{63}{13}$