円 $C: x^2 + y^2 = 4$ と直線 $l: y = m(x - 4)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 円Cと直線lが異なる2点で交わるような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) 円Cが直線lから切り取る線分の長さが $2\sqrt{2}$ となるような、定数 $m$ の値を求め、さらにその線分の中点の座標を求めます。

## 問題１

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 = 4$ と直線 $l: y = m(x - 4)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 円Cと直線lが異なる2点で交わるような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) 円Cが直線lから切り取る線分の長さが $2\sqrt{2}$ となるような、定数 $m$ の値を求め、さらにその線分の中点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことです。

円 $C$ の中心は $(0, 0)$ で、半径は $2$ です。直線 $l$ を一般形 $mx - y - 4m = 0$ で表します。点 $(0, 0)$ と直線 $mx - y - 4m = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m \cdot 0 - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4|m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$d < 2$ となる $m$ の範囲を求めます。

$\frac{4|m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 2$

$4|m| < 2\sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2で割ると、

$2|m| < \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗すると、

$4m^2 < m^2 + 1$

$3m^2 < 1$

$m^2 < \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} < m < \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) 円Cが直線lから切り取る線分の長さが $2\sqrt{2}$ のとき、円の中心から直線までの距離を $d$ とすると、三平方の定理より、

$d^2 + (\sqrt{2})^2 = 2^2$

$d^2 + 2 = 4$

$d^2 = 2$

$d = \sqrt{2}$

$\frac{4|m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$

$16m^2 = 2(m^2 + 1)$

$16m^2 = 2m^2 + 2$

$14m^2 = 2$

$m^2 = \frac{1}{7}$

$m = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$

$m = \frac{1}{\sqrt{7}}$ のとき、直線 $l$ は $y = \frac{1}{\sqrt{7}}(x - 4)$ 。円 $x^2 + y^2 = 4$ との交点を求めます。

$x^2 + (\frac{1}{\sqrt{7}}(x - 4))^2 = 4$

$x^2 + \frac{1}{7}(x^2 - 8x + 16) = 4$

$7x^2 + x^2 - 8x + 16 = 28$

$8x^2 - 8x - 12 = 0$

$2x^2 - 2x - 3 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{7}}(x - 4)$ に代入して、$y_1, y_2$ を求めます。

$y_1 = \frac{1}{\sqrt{7}}(\frac{1 + \sqrt{7}}{2} - 4) = \frac{1}{\sqrt{7}}(\frac{1 + \sqrt{7} - 8}{2}) = \frac{1}{\sqrt{7}}(\frac{\sqrt{7} - 7}{2}) = \frac{1 - \sqrt{7}}{2\sqrt{7}}$

$y_2 = \frac{1}{\sqrt{7}}(\frac{1 - \sqrt{7}}{2} - 4) = \frac{1}{\sqrt{7}}(\frac{1 - \sqrt{7} - 8}{2}) = \frac{1}{\sqrt{7}}(\frac{-7 - \sqrt{7}}{2}) = \frac{-7 - \sqrt{7}}{2\sqrt{7}} = \frac{-(\sqrt{7} + 1)}{2}$

$x$ 座標の中点は $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{\frac{1 + \sqrt{7}}{2} + \frac{1 - \sqrt{7}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$y$ 座標の中点は $\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{\frac{\sqrt{7} - 7}{2\sqrt{7}} + \frac{-7 - \sqrt{7}}{2\sqrt{7}}}{2} = \frac{\frac{-14}{2\sqrt{7}}}{2} = \frac{-7}{2\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}}{2}$

線分の中点の座標は $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{7}}{2})$ 。

$m = -\frac{1}{\sqrt{7}}$ のときも同様に計算すると、線分の中点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2})$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{\sqrt{3}} < m < \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $m = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$ 、線分の中点の座標は $(\frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{7}}{2})$

## 問題２

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 10 = 0$ と直線 $y = ax + 1$ が異なる2点A, Bで交わっています。

(1) $a$ の値の範囲を求めます。

(2) 弦 AB の長さが最大になるときの $a$ の値を求めます。

(3) 弦 AB の長さが 2 になるときの $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を変形します。

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 3^2 + 2^2 - 10 = 9 + 4 - 10 = 3$

円の中心は $(3, 2)$ で、半径は $\sqrt{3}$ です。直線 $y = ax + 1$ を $ax - y + 1 = 0$ と表します。円の中心 $(3, 2)$ と直線 $ax - y + 1 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|a \cdot 3 - 2 + 1|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

円と直線が異なる2点で交わる条件は、$d < \sqrt{3}$ です。

$\frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} < \sqrt{3}$

$|3a - 1| < \sqrt{3(a^2 + 1)}$

$(3a - 1)^2 < 3(a^2 + 1)$

$9a^2 - 6a + 1 < 3a^2 + 3$

$6a^2 - 6a - 2 < 0$

$3a^2 - 3a - 1 < 0$

$a = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

$\frac{3 - \sqrt{21}}{6} < a < \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$

(2) 弦 AB の長さが最大になるのは、直線が円の中心を通るときです。つまり、直線 $y = ax + 1$ が点 $(3, 2)$ を通るとき。

$2 = 3a + 1$

$3a = 1$

$a = \frac{1}{3}$

(3) 弦 AB の長さが 2 のとき、円の中心から直線までの距離を $d$ とすると、三平方の定理より、

$d^2 + 1^2 = (\sqrt{3})^2$

$d^2 + 1 = 3$

$d^2 = 2$

$d = \sqrt{2}$

$\frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{2}$

$(3a - 1)^2 = 2(a^2 + 1)$

$9a^2 - 6a + 1 = 2a^2 + 2$

$7a^2 - 6a - 1 = 0$

$(7a + 1)(a - 1) = 0$

$a = 1, -\frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3 - \sqrt{21}}{6} < a < \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$

(2) $a = \frac{1}{3}$

(3) $a = 1, -\frac{1}{7}$