極方程式 $r \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を直交座標の方程式で表す問題です。

1. 問題の内容

極方程式 $r \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を直交座標の方程式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理を用いて、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ を展開します。

$$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$$

この結果を元の極方程式に代入します。

$$r (\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

両辺に2をかけます。

$$r (\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta) = \sqrt{3}$$

ここで、$x = r\cos\theta$ および $y = r\sin\theta$ の関係を用いて、直交座標に変換します。

$$r\sin\theta + \sqrt{3} r\cos\theta = \sqrt{3}$$

$$y + \sqrt{3} x = \sqrt{3}$$

整理すると、直交座標の方程式が得られます。

$$y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3}$