2つの円があり、直線ABが2つの円の共通接線で、AとBは接点である。2つの円の中心をそれぞれO, O'とする。円Oの半径は3、円O'の半径は8、中心間の距離OO'は13である。線分ABの長さを求める。

1. 問題の内容

2つの円があり、直線ABが2つの円の共通接線で、AとBは接点である。2つの円の中心をそれぞれO, O'とする。円Oの半径は3、円O'の半径は8、中心間の距離OO'は13である。線分ABの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、点Oから線分OO'に垂直な直線を引き、点O'を通る半径に交わる点をCとする。このとき、四角形ABCOは長方形になる。

線分O'Cの長さを計算する。

$O'C = 8 - 3 = 5$

三角形OO'Cは直角三角形である。ピタゴラスの定理より、

$OO'^2 = O'C^2 + OC^2$

$13^2 = 5^2 + OC^2$

$169 = 25 + OC^2$

$OC^2 = 169 - 25 = 144$

$OC = \sqrt{144} = 12$

四角形ABCOは長方形なので、$AB = OC$である。

3. 最終的な答え

線分ABの長さは12。