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2つの円があり、直線ABはその共通接線である。AとBはそれぞれの円の接点である。小さい円の半径は4、大きい円の半径は13、2つの円の中心間の距離は15である。線分ABの長さを求める。

幾何学円接線ピタゴラスの定理相似三平方の定理
2025/8/12

1. 問題の内容

2つの円があり、直線ABはその共通接線である。AとBはそれぞれの円の接点である。小さい円の半径は4、大きい円の半径は13、2つの円の中心間の距離は15である。線分ABの長さを求める。

2. 解き方の手順

* 小さい円の中心をO、大きい円の中心をO'とする。
* 点Oから線分OO'上に垂線を下ろし、その交点をCとする。
* すると、四角形ABCOは長方形になる。よって、OC = ABとなる。
* 三角形OO'Cは直角三角形であり、OO' = 15, O'C = 13 - 4 = 9 である。
* ピタゴラスの定理より、OO′2=OC2+O′C2OO'^2 = OC^2 + O'C^2 が成り立つ。
* 152=OC2+9215^2 = OC^2 + 9^2 であるから、225=OC2+81225 = OC^2 + 81 となり、OC2=225−81=144OC^2 = 225 - 81 = 144 となる。
* したがって、OC=144=12OC = \sqrt{144} = 12 となる。
* OC = AB なので、AB = 12となる。

3. 最終的な答え

線分ABの長さは12である。

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